Paridad de una permutación

En matemáticas, las permutaciones pueden descomponerse en un producto de transposiciones, es decir, en una sucesión de intercambios de elementos dos a dos.

La paridad o signatura de una permutación vale 1 si esta es par y -1 si es impar. La aplicación correspondiente a la paridad constituye un homomorfismo de grupos. Es importante en álgebra multilineal, sobre todo en el cálculo de determinantes.

Sea una permutación σ. La definición de la signatura de σ se hace contando las inversiones.

Toda transposición es una permutación impar. En efecto notando i y j, i < j, los términos que la transposición intercambia, está transposición se escribirá:

Los pares en inversión son los pares de la forma {i, k} con k comprendido entre i + 1 y j y los de la forma {k, j} con k comprendido entre i + 1 et j – 1. En total, hay un número impar de inversiones, de lo que se deduce que la permutación es impar.

Nótese ${displaystyle {mathcal {P}}}$ al conjunto de pares de elementos comprendidos entre 1 y n (en total hay n(n – 1)/2 elementos). La signatura de una permutación σ es:

Esta fórmula tiene un cierto interés algebraico pero en la práctica no permite un cálculo eficaz de la paridad. En efecto, en comparación con un simple conteo de inversiones, la multiplicación y la división por un cierto número de enteros son más costosas.

Las permutaciones verifican una regla de signo para el producto: el producto de dos permutaciones pares es par, el de dos permutaciones impares es par y el de una permutación par y una permutación impar es impar. Utilizando la paridad, esto se resume en la fórmula

En el segundo factor del segundo miembro, se reconoce directamente una signatura. En el primero, es necesario establecer {i', j'} = {τ(i), τ(j)} ; donde se reconoce igualmente una signatura.

En términos algebraicos : la signatura es un morfismo de grupos del grupo simétrico ${displaystyle ({mathfrak {S}}_{n},circ )}$ en el grupo de dos elementos ({–1, 1}, ×). El subgrupo formado por el núcleo de este morfismo forma el grupo alternado de permutaciones pares. Finalmente, la permutación inversa de ${displaystyle sigma ,,,sigma ^{-1},}$ tiene la misma paridad que ${displaystyle sigma }$.

${displaystyle varepsilon (sigma ^{-1})=varepsilon (sigma )}$

Como corolarios de los resultados precedentes se tiene que

El cálculo de la paridad a través de la descomposición en producto de transposiciones es mucho más eficaz que la aplicación de la definición inicial; en efecto, para una permutación de ${displaystyle {mathfrak {S}}_{n}}$, esta descomposición requiere como máximo n – 1 operaciones, en lugar de las n(n – 1)/2 operaciones que se requieren por la definición. De estos dos corolarios y de la descomposición de un ciclo en trasposiciones se deduce que los ciclos de longitud par son permutaciones de paridad impar, y viceversa.