Serie infinita

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma aplicada a los términos de una progresión aritmética.

lo que suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito ${displaystyle n}$ de términos sucesivos, y mediante un paso al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que ${displaystyle n}$ crece indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

Para cualquier serie matemática ${displaystyle {a_{n}}}$ de números racionales, reales, complejos, funciones, etc., la serie asociada se define como la suma formal ordenada:

La sucesión de sumas parciales ${displaystyle {S_{k}} }$ asociada a una sucesión ${displaystyle {a_{n}} }$ está definida para cada ${displaystyle k }$ como la suma de la sucesión ${displaystyle {a_{n}} }$ desde ${displaystyle a_{1} }$ hasta ${displaystyle a_{k} }$:

Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.

Por definición, la serie ${displaystyle sum _{i=1}^{infty }a_{i}}$ converge al límite ${displaystyle L }$ si y solo si la sucesión de sumas parciales asociada ${displaystyle S_{k}}$ converge a ${displaystyle L }$. Esta definición suele escribirse como

En general, una serie geométrica es convergente si solo si ${displaystyle |r|<1}$ y en tal caso, la serie converge a

donde ${displaystyle ain mathbb {R} }$.

La serie armónica es divergente.

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

Por lo que

Una serie  ${displaystyle sum _{i=1}^{infty }a_{i}}$ se dice que es convergente (o que converge) si la sucesión ${displaystyle S_{N}}$ de sumas parciales tiene un límite finito. Si el límite de ${displaystyle S_{N}}$ es infinito o no existe, se dice que la serie diverge. Cuando este límite existe, se le llama suma de la serie.

Si todos los ${displaystyle a_{n}}$ son cero para ${displaystyle n}$ suficientemente grande, la serie se puede identificar con una suma finita. El estudio de la convergencia de series, se centra en las propiedades de las series infinitas que incluyen infinitos términos no nulos. Por ejemplo, el número periódico

tiene como representación decimal, la serie

Dado que estas series siempre convergen en los números reales (ver: espacio completo), no hay diferencia entre este tipo de series y los números decimales que representan. Por ejemplo, 0.111… y ¹/₉; o bien 1=0,9999...