Series hipergeométricas

En matemáticas, una serie hipergeométrica es una serie de potencias donde el k-ésimo coeficiente de la serie es una función racional de k. Si la serie converge, define una función hipergeométrica cuyo dominio es algún subconjunto de los números complejos. Generalmente, estas funciones hipergeométricas se representan mediante la notación _pF_q(a₁,a₂,... ;b₁, b₂,...;z). El primer caso estudiado corresponde a la serie hipergeométrica ordinaria o gaussiana ₂F₁(a,b;c;z), que fue estudiada sistemáticamente por Carl Friedrich Gauss, aunque anteriormente, Leonhard Euler ya había estudiado este tipo de estructura.(1)

De la manera más general, se formulan de la siguiente manera:

donde

es el símbolo de Pochhammer.

Hay ciertos valores de a_j y b_k para los cuales el numerador o el denominador de los coeficientes es 0.

Excluyendo estos casos, el Criterio de d'Alembert puede ser aplicado y determina el radio de convergencia.

La cuestión de convergencia para p=q+1 cuando z está en el círculo unitario es más difícil. Está demostrado que las serie convergen absolutamente en z=1 si

Las funciones hipergeométricas forman una vasta familia de funciones que incluye entre otras a las funciones de Bessel, la función Gamma incompleta, la función error, integrales elípticas y polinomios ortogonales. El que esto sea así, se debe a que las funciones hipergeométricas son soluciones de una clase muy general de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden: las ecuaciones diferenciales hipergeométricas.

---