Teoría de haces

En matemática, un haz F sobre un espacio topológico dado, X, proporciona, para cada conjunto abierto U de X, un conjunto F(U), de estructura más rica. A su vez dichas estructuras, F(U), son compatibles con la operación de restricción desde un conjunto abierto hacia subconjuntos más pequeños y con la operación de pegado de conjuntos abiertos para obtener un abierto mayor. Un prehaz es similar a un haz, pero con él puede no ser posible la operación de pegado. Los haces nos permiten discutir de manera refinada sobre lo que significa ser una propiedad local, tal y como hablamos de ello cuando lo aplicamos a una función.

Los haces son usados en topología, geometría algebraica y geometría diferencial siempre que queremos guardar rastro de los datos algebraicos que varían con cada conjunto abierto del objeto geométrico dado. Son una herramienta global para estudiar objetos que varían localmente (i.e., dependiendo del conjunto abierto). Funcionan como instrumentos naturales para el estudio del comportamiento global de entidades que son de naturaleza local, como los conjuntos abiertos, o las funciones: continuas, analíticas, diferenciables...

Por considerar un ejemplo típico, sea un espacio topológico X y sea, para cada conjunto abierto U en X, el conjunto F(U), que consta de todas las funciones continuas U ${displaystyle ightarrow }$ R. Si V es un subconjunto abierto de U, entonces las funciones sobre U pueden restringirse a V, y tenemos una aplicación F(U) ${displaystyle ightarrow }$ F(V). El "pegado" se trata del siguiente proceso: supón que los U_i son conjuntos abiertos cuya unión es U, y para cada i cogemos un elemento f_i ${displaystyle in }$ F(U_i), i.e. una función continua f_i : U_i ${displaystyle ightarrow }$ R. Si estas funciones coinciden allá donde se solapen, entonces podemos pegarlas juntas de manera que nos den una única forma de conseguir una función continua f : U ${displaystyle ightarrow }$ R conincidente con todas las f_i. La colección de conjuntos F(U) junto con las aplicaciones restricción F(U) ${displaystyle ightarrow }$ F(V) forman un haz de conjuntos sobre X. Realmente, los F(U) son anillos conmutativos y las aplicaciones de restricción son homomorfismos de anillos, y F es además un haz de anillos sobre X.

Un ejemplo muy parecido se obtiene considerando una variedad diferenciable X, y para cada conjunto abierto U de X, tomando el conjunto F(U) como el de las funciones diferenciables U ${displaystyle ightarrow }$ R. En este ejemplo va a funcionar también el pegado y tendremos un haz de anillos sobre X. Otro haz sobre X asigna a cada conjunto abierto U de X el espacio vectorial de todas los campos vectoriales diferenciables definidos sobre U. La restricción y el pegado funcionará como en el caso de las funciones, y obtendremos un haz de espacios vectoriales sobre la variedad X.

Los orígenes más primigenios de la teoría de haces son difíciles de discernir - seguramente son coextensivos con la idea de la continuación analítica. Tomó alrededor de 15 años para extraer una teoría de haces autosuficiente del trabajo fundacional en cohomología.

Son introducidos los Soportes, y la cohomología con soportes. Las aplicaciones continuas hacen surgir las sucesiones espectrales. Al mismo tiempo Kiyoshi Oka introduce la idea (parecida a aquella) de un haz de ideales, en varias variables complejas.

En este punto los haces se han convertido ya en una parte fundamental en el desarrollo de la matemática, y su uso no se restringe de ningún modo a la topología algebraica. Más tarde se descubrió que la lógica en las categorías de haces es intuicionista (se suele a menudo nombrar esta observación como semántica Kripke-Joyal, pero probablemente debiera ser atribuida a un mayor número de autores). Esto demuestra cómo algunas de las facetas de la teoría de haces puede ser remontada tan lejos como a Leibniz.

Definiremos los haces en dos pasos. El primero es introducir el concepto de prehaz, que captura la idea de asociar información local a un espacio topológico. El segundo paso es introducir un axioma adicional, llamado el axioma de pegado o el axioma de haz, que captura la idea de pegar información local para obtener información global.

Sea X un espacio topológico, y C una categoría (a menudo la categoría de conjuntos, de grupos abelianos, de anillos conmutativos, o la de módulos sobre un anillo fijo). Un prehaz F de objetos en C sobre el espacio X (un C-prehaz sobre X) viene dado por los datos siguientes:

de U a V". La escribiremos como res_U,V. Se requieren dos propiedades:

Esta definición puede darse fácilmente en términos de la teoría de las categorías. Primero definimos la categoría de los conjuntos abiertos sobre X como la categoría Top_X cuyos objetos son los conjuntos abiertos de X y cuyos morfismos son las inclusiones. Top_X es entonces la categoría correspondiente al orden parcial ${displaystyle subset }$ sobre los conjuntos abiertos de X. Un C-prehaz sobre X es entonces un funtor contravariante desde Top_X a C.

Si F es un prehaz C-valuado sobre X, y U es un conjunto abierto de X, entonces F(U) se dice las secciones de F sobre U. (Esto es por analogía con las secciones de los "fiber bundles"; ver abajo) Si C es una categoría concreta, entonces cada elemento de F(U) es llamado una sección. F(U) a menudo es también denotado Γ(U,F).

Los haces son prehaces sobre los cuales las secciones sobre conjuntos abiertos pueden ser pegadas para dar secciones sobre abiertos más grandes. Estableceremos primero el axioma de una manera que requiere que C sea una categoría concreta.

Sea U la unión de la colección de conjuntos abiertos {U_i}. Para cada U_i, escoge una sección f_i sobre U_i. Diremos que los f_i son compatibles si para todo i j,

Intuitivamente hablando, si las f_i representan funciones, estamos diciendo que cualquiera de ellas coincidirá con otra allá donde se solapen. El axioma de haz dice que podemos obtener con los f_i una sección única f sobre U cuya restricción a cada U_i es f_i, i.e., res_U,Ui(f)=f_i. Algunas veces esto se dice con dos axiomas, uno garantizando la existencia y el otro la unicidad.

Parafraseando esta definición de manera que funcione en cualquier categoría, notamos que podemos escribir los objetos y los morfismos envueltos en ella en un diagrama parecido a este:

La primera aplicación aquí es el producto de las aplicaciones restricción res_U,Ui,:F(U)${displaystyle ightarrow }$F(U_i) y cada par de flechas representa las dos restricciones res_{Ui,Ui${displaystyle cap }$Uj}:U_i${displaystyle ightarrow }$U_i${displaystyle cap }$U_j y res_{Uj,Ui${displaystyle cap }$Uj}:U_j${displaystyle ightarrow }$U_i${displaystyle cap }$U_j. Vale la pena hacer notar que esas aplicaciones agotan todas las posibilidades en cuanto a las aplicaciones restricción entre U, los U_i, y los U_i${displaystyle cap }$U_j.

La condición de que F sea un haz es exactamente la de que F(U) es el límite del resto del diagrama. Esto sugiere que debemos parafrasear la noción de recubrimiento en un contexto categorial. Cuando hacemos esto, obtenemos un diagrama que semeja al de arriba:

(Es importante notar aquí que para formar los productos en el diagrama, debemos embeber la categoría Top_X en una categoría completa) La condición de que U es la unión de los U_i es la de que U es un colímite del resto del diagrama.

El axioma de pegado es ahora el que F torna todos los colímites en límites.

Aparte de los que ya hemos puesto, los haces de secciones son ejemplos importantes. Supón que E y X son espacios topológicos y π : E ${displaystyle ightarrow }$ X una aplicación continua. Para cada conjunto abierto U en X, sea F(U) el conjunto de todas las aplicaciones f : U ${displaystyle ightarrow }$ E tales que π(f(x)) = x para todo x en U. Tal función f es llamada sección de π. No es difícil comprobar que F es un haz de conjuntos sobre X. De hecho, cada haz de conjuntos sobre X es esencialmente de este tipo, para aplicaciones muy especiales π; ver abajo.

Dado un haz F sobre X, los elementos de F(X) son llamados también las secciones globales, terminología motivada por el ejemplo previo.

Otros ejemplos: