Base de Hilbert

En álgebra lineal, una base ${displaystyle B}$ de un espacio vectorial ${displaystyle V}$ sobre un campo ${displaystyle K}$ es un subconjunto de ${displaystyle V}$ (${displaystyle Bsubseteq V}$) y cumple las siguientes condiciones:

Mediante el uso del lema de Zorn, es posible probar que todo espacio vectorial posee una base. Pese a que es posible que un espacio vectorial no posea una única base, se cumple que todo par de bases de un mismo espacio vectorial tienen la misma cardinalidad. Por ser así, tal cardinalidad será llamada como la dimensión del espacio vectorial.

Otras propiedades, consecuencias del lema de Zorn:

la cual es conocida como base canónica de ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$. Otras bases de ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ son:

En general, toda base de ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ estará formada por tres vectores linealmente independientes que pertenezcan a ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$. Cuando el espacio vectorial en sí mismo es un conjunto finito entonces el número de bases distintas es finito.

Como se especificó antes, se denomina espacio vectorial de dimensión finita a todo aquel generado por un conjunto finito de vectores. En este caso puede definirse la dimensión del espacio como el cardinal del conjunto de vectores que constituye la base.

Los subespacios de un espacio vectorial de dimensión finita también tienen, al menos, una base, de dimensión menor a la del espacio en el cual están contenidos. Por ejemplo, una recta homogénea en el plano, es decir que pasa por el origen determinado en este, tiene dimensión uno, por ser su base un único vector. Evidentemente, esta dimensión es menor a la del plano en el cual la recta se encuentra contenida.

Se indica a continuación, a través de ejemplos, el procedimiento de cálculo de la base de un subespacio vectorial dado.

${displaystyle (a,b)=(a,a)=a(1,1)}$.

${displaystyle r=mathrm {gen} {(1,1)}}$.

${displaystyle z=-x-y}$.

${displaystyle scriptstyle S=left{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})in mathbb {R} ^{4} : x_{1}-x_{2}=0 land x_{1}-x_{4}=0 land 5x_{1}-6x_{3}-5x_{4}=0 ight}}$

${displaystyle left{{egin{array}{lcr}b&=&a\d&=&-3cend{array}} ight.}$

${displaystyle p(x)=ax^{3}+ax^{2}+cx-3c=a(x^{3}+x^{2})+c(x-3)}$.

Considérese ahora el problema inverso: dada una base, se busca el espacio que genera.

Si por ejemplo ${displaystyle B=left{(1,-1,1) ight}}$ es la base de algún subespacio de ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$, el objetivo entonces es hallar el conjunto de combinaciones lineales ${displaystyle mathrm {gen} (B)={(1,-1,1)t:tin mathbb {R} }}$ en forma implícita. Para esto, tómese una terna ordenada ${displaystyle (x,y,z)in mathrm {gen} (B)}$. Se cumple que

${displaystyle (x,y,z)=(1,-1,1)t}$

el cual es un sistema de ecuaciones lineales. Puede eliminarse el parámetro t, para obtener

${displaystyle mathrm {gen} (B)={(x,y,z)in mathbb {R} ^{3}:x+y=y+z=0}}$.

En el caso de espacios vectoriales de dimensión infinita, como los que aparecen en análisis funcional existen algunas distinciones pertinentes que es importante señalar.

En un espacio vectorial de Hilbert de dimensión infinita existen varias posibilidades de extender el concepto de combinación lineal finita. De un lado si consideramos únicamente combinaciones lineales finitas llegamos al concepto de base de Hamel o base lineal. Puede probarse que todas las bases de Hamel tienen el mismo número de elementos, este número o cardinal se llama dimensión lineal o dimensión de Hamel. Un conjunto constituye una base de Hamel si y solo si:

En un espacio de dimensión de Hamel finita, se puede encontrar solamente un número finito de vectores ortogonales dos a dos, en cambio, cuando la dimensión de Hamel es infinita, pueden introducirse en los espacios de Hilbert ciertas "combinaciones lineales infinitas" en términos de vectores ortogonales. En un espacio de Hilbert de dimensión infinita se dice que un conjunto es una base de Hilbert o base ortogonal, si y solo si:

Nuevamente sucede que todas las bases ortogonales tienen el mismo cardinal, por lo que se define el concepto de dimensión de Hilbert como el cardinal de cualquier base de Hilbert.

La dimensión de un espacio vectorial se define como el número de elementos o cardinal de una base de dicho espacio. Dado que para todo espacio de Hilbert de dimensión infinita podemos distinguir entre bases de Hilbert y de Hamel, podemos definir la dimensión vectorial ordinaria y la dimensión vectorial de Hilbert. Se tiene que para cualquier espacio vectorial V, la relación entre dimensión de Hammel y dimensión de Hilbert es la siguiente:

En espacios de dimensión finita también se pueden definir las bases de Hilbert como bases de Hamel ortogonales. De hecho, para un espacio de dimensión finita, la dimensión de Hilbert es igual a la dimensión de Hamel. En dimensión finita toda base de Hamel es base de Hilbert y viceversa, por lo que para un espacio de dimensión finita en (1) se da siempre la igualdad.

---