Cortes de Dedekind

Las cortaduras de Dedekind son clases de números racionales que representan la primera construcción formal^{[cita requerida]} del conjunto de los números reales. Con su aparición se cierra el problema histórico de la fundamentación del Análisis Matemático.^[1]​

Un conjunto ${displaystyle Asubset mathbb {Q} }$ es un corte de Dedekind (o simplemente un corte) si cumple las siguientes propiedades:

Si tomamos un número racional arbitrario ${displaystyle rin mathbb {Q} }$, entonces el corte ${displaystyle A_{r}:={ain mathbb {Q} :a<r}}$ se denominará corte racional (asociada a ${displaystyle r;}$).

Es evidente que a todo número racional le corresponde un corte racional y solamente uno. Podemos establecer así una aplicación inyectiva ${displaystyle mathbb {Q} longrightarrow mathbb {R} }$ que al número racional ${displaystyle r;}$ le asocie el corte racional ${displaystyle A_{r};}$.

Un corte ${displaystyle A;}$ es corte racional si y solo si existe ${displaystyle rin mathbb {Q} }$ tal que ${displaystyle r=operatorname {sup} left(A ight)}$.

Dados dos cortes ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$ diremos que ${displaystyle Aleq B}$ si y solo si ${displaystyle Asubseteq B}$, lo que equivale a que ${displaystyle sup(A)leq sup(B)}$.

En el conjunto de los números reales (conjunto de todos los cortes), ${displaystyle leq }$ es una relación de orden, que es orden total, pero no es buen orden.

Denominamos cero a la cortadura racional ${displaystyle A_{0}:={rin mathbb {Q} :r<0}}$.

Diremos que un corte ${displaystyle A}$ es un número positivo si ${displaystyle A_{0}leq A}$.

Diremos que un corte ${displaystyle A}$ es un número negativo si ${displaystyle Aleq A_{0}}$.

Diremos que un corte ${displaystyle A}$ es estrictamente positivo o no negativo si ${displaystyle A_{0}<A}$.

Diremos que un corte ${displaystyle A}$ es estrictamente negativo o no positivo si ${displaystyle A<A_{0}}$.

Dados dos cortes arbitrarios ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$ definimos su suma como el conjunto ${displaystyle A+B:={a+b:ain A,bin B}}$. ${displaystyle A+B}$ es un corte, con lo que + representa una operación binaria en el conjunto de los números reales, operación denominada adición.

La adición provee al conjunto de los números reales de estructura de grupo abeliano, es decir, en ${displaystyle (mathbb {R} ,+)}$ se verifican las propiedades asociativa, , existencia de elemento neutro (${displaystyle A_{0}}$) y existencia para cada corte ${displaystyle A}$ de un elemento simétrico (opuesto) ${displaystyle -A:={rin mathbb {Q} :exists sin mathbb {Q} setminus A,s<-r}}$ y la propiedad conmutativa .

Además, se da la compatibilidad de la suma con el orden, es decir, si ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$ son cortes y ${displaystyle Aleq B}$, entonces, cualquiera que sea el corte ${displaystyle C}$, se cumple que ${displaystyle A+Cleq B+C}$.

Por último, la suma en ${displaystyle mathbb {R} }$ es una extensión de la suma en ${displaystyle mathbb {Q} }$, esto es, si ${displaystyle r,sin mathbb {Q} }$, entonces ${displaystyle A_{r}+A_{s}=A_{r+s}}$.

la multiplicación de cortes no es tan sencilla de definir como la adición, se hace por casos.

Sean ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$ dos cortes:

En cualquier caso, ${displaystyle Acdot B}$ es un corte, con lo que ${displaystyle cdot }$ es una operación interna en el conjunto de los números reales, operación que denominaremos multiplicación.

La multiplicación cumple las propiedades , asociativa, existe un elemento neutro ${displaystyle A_{1}}$ para el producto, y si ${displaystyle A}$ no es el corte cero, entonces existe elemento simétrico del corte ${displaystyle A}$ para el producto, denominado inverso de ${displaystyle A}$, y definido por ${displaystyle A^{-1}:=left{rin mathbb {Q} :r>0,exists sin mathbb {Q} setminus A,s<{dfrac {1}{r}} ight}cup A_{0}cup {0}}$, si ${displaystyle A>A_{0}}$, y por ${displaystyle A^{-1}:=-((-A)^{-1})}$ cuando ${displaystyle A<A_{0}}$ y la propiedad conmutativa. Con estas propiedades, ${displaystyle (mathbb {R} setminus {A_{0}},cdot )}$ es un grupo abeliano.

El producto en ${displaystyle mathbb {R} }$ es distributivo respecto de la suma. De esta manera ${displaystyle (mathbb {R} ,+,cdot )}$ tiene estructura de cuerpo.

El producto es compatible con el orden de los reales positivos: si ${displaystyle A}$, ${displaystyle B}$ y ${displaystyle C}$ son cortes con ${displaystyle Aleq B}$ y ${displaystyle Cgeq A_{0}}$, entonces ${displaystyle Acdot Cleq Bcdot C}$.

Si ${displaystyle Acdot B=A_{0}}$, entonces se prueba que bien ${displaystyle A=A_{0}}$ o bien ${displaystyle B=A_{0}}$.

El producto en ${displaystyle mathbb {R} }$ es extensión del producto en ${displaystyle mathbb {Q} }$: si ${displaystyle r,sin mathbb {Q} }$, entonces ${displaystyle A_{r}cdot A_{s}=A_{rcdot s}}$.

El conjunto de los números reales goza de ciertas propiedades que son particularmente sencillas de demostrar usando cortes de Dedekind, como son:

Se puede probar que el conjunto de los números reales es el único que tiene estas propiedades, es decir, que si ${displaystyle mathbb {K} }$ es un cuerpo ordenado que verifica el principio del supremo, entonces ${displaystyle mathbb {K} }$ es isomorfo a ${displaystyle mathbb {R} }$ (en particular, si ${displaystyle mathbb {Q} subset mathbb {K} }$, entonces es ${displaystyle mathbb {K} =mathbb {R} }$). En ese caso se dirá que ${displaystyle mathbb {K} }$ es un sistema de números reales.

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