Distribución binominal

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución binomial o distribución binómica es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de ${displaystyle n}$ ensayos de Bernoulli independientes entre sí con una probabilidad fija ${displaystyle p}$ de ocurrencia de éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, solo dos resultados son posibles, a uno de estos se le denomina “éxito” y tiene una probabilidad de ocurrencia ${displaystyle p}$ y al otro se le denomina “fracaso” y tiene una probabilidad ${displaystyle q=1-p}$. ^[2]​

Si una variable aleatoria discreta ${displaystyle X}$ tiene una distribución binomial con parámetros ${displaystyle nin mathbb {N} }$ y ${displaystyle p}$ con ${displaystyle 0<p<1}$ entonces escribiremos ${displaystyle Xsim operatorname {Bin} (n,p)}$.

Si ${displaystyle Xsim operatorname {Bin} (n,p)}$ entonces su función de probabilidad está dada por

para ${displaystyle x=0,1,2,dots ,n}$, siendo

el coeficiente binomial y se lee “las combinaciones de ${displaystyle n,!}$ en ${displaystyle x,!}$“.

En ocasiones, para calcular las probabilidades binomiales se utiliza la siguiente fórmula recursiva para calcular ${displaystyle operatorname {P} [X=x+1]}$ en términos de ${displaystyle operatorname {P} [X=x]}$

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria ${displaystyle Xsim operatorname {Bin} (n,p)}$ está dada por

También puede ser expresada en términos de la función beta incompleta como

que es equivalente a la función de distribución acumulada de la distribución F.

La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.

Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). El valor de ambas posibilidades ha de ser constante en todos los experimentos, y se denotan como ${displaystyle p}$ y ${displaystyle q}$ respectivamente o como ${displaystyle p}$ y ${displaystyle 1-p}$ de forma alternativa.

Se designa por ${displaystyle X}$ a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los ${displaystyle n}$ experimentos.

Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable ${displaystyle X}$ sigue una distribución de probabilidad binomial.

Supongamos que se lanza 51 veces un dado de 6 caras y queremos calcular la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces.

En este problema un ensayo consiste en lanzar el dado una vez. Consideramos un éxito si obtenemos un 3 pero si no sale 3 lo consideramos como un fracaso. Defínase ${displaystyle X}$ como el número de veces que se obtiene un 3 en 51 lanzamientos.

En este caso tenemos ${displaystyle Xsim operatorname {Bin} (51,1/6)}$ por lo que la probabilidad buscada es ${displaystyle operatorname {P} [X=20]}$

Si ${displaystyle X}$ es una variable aleatoria discreta tal que ${displaystyle Xsim operatorname {Bin} (n,p)}$ entonces

La primera de ellas es fácil de demostrar, por definición de Esperanza

el primer término de la suma, es decir, para ${displaystyle x=0}$ el término vale cero por lo que podemos iniciar la suma en ${displaystyle x=1}$

Dado que

para ${displaystyle xgeq 1}$.

Reemplazando lo anterior en la expresión de ${displaystyle operatorname {E} [X]}$ obtenemos

Haciendo el cambio de índice ${displaystyle k=x-1}$ obtenemos

Finalmente por la fórmula de Newton (Teorema del binomio)

Obtenemos

Si ${displaystyle Xsim operatorname {Bin} (n,p)}$ y ${displaystyle Ysim operatorname {Bin} (m,p)}$ son variables aleatorias independientes con la misma probabilidad ${displaystyle p}$ entonces la variable aleatoria ${displaystyle Z=X+Y}$ también es una variable aleatoria con distribución binomial con parámetros ${displaystyle n+m}$ y ${displaystyle p}$, es decir ${displaystyle Z=X+Ysim operatorname {Bin} (n+m,p)}$

Si ${displaystyle X_{1},X_{2},dots ,X_{n}}$ son ${displaystyle n}$ variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tales que ${displaystyle X_{i}sim operatorname {Bernoulli} (p)}$ entonces

Lo anterior es equivalente a decir que la distribución Bernoulli es un caso particular de la distribución Binomial cuando ${displaystyle n=1}$, es decir, si ${displaystyle Xsim operatorname {Bin} (1,p)}$ entonces ${displaystyle Xsim operatorname {Bernoulli} (p)}$.

Si ${displaystyle n o infty }$ y ${displaystyle p}$ es tal que el producto entre ambos parámetros tiende a ${displaystyle lambda ,!}$, entonces la distribución de la variable aleatoria binomial tiende a una distribución de Poisson de parámetro ${displaystyle lambda }$.

Si ${displaystyle X}$ es una variable aleatoria con media ${displaystyle np}$ y varianza ${displaystyle np(1-p)}$ entonces

conforme ${displaystyle n o infty }$, esta aproximación es buena si ${displaystyle npgeq 5}$ y ${displaystyle n(1-p)geq 5}$.

Si ${displaystyle X_{1},X_{2},dots ,X_{k}}$ son variables aleatorias independientes tales que ${displaystyle X_{i}sim operatorname {Bin} (n_{i},p)}$ con ${displaystyle i=1,2,dots ,k}$ entonces

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