En matemáticas, el producto de todos los enteros desde el 1 hasta un entero no-negativo n que tiene la misma paridad (pares o impares) que n se llama doble factorial o semifactorial de n y se representa como n!!. Se define por:
(Una consecuencia de esta definición es que 0!! = 1, como un producto vacío).
Entonces, para n par el doble factorial es:
Y para n impar es:
Por ejemplo, 9!!=9·7·5·3·1=945.
El doble factorial no debe confundirse con la función factorial iterada dos veces, que es escrita como (n!)! y no n!! La secuencia de los dobles factoriales para los pares n=0, 2, 4, 6, 8,... empieza así:
1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120,... (secuencia A000165 en el OEIS)
La secuencia de los dobles factoriales para los impares n=1, 3, 5, 7, 9,... empieza así:
1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135,... (secuencia A001147 en el OEIS)
Merserve (1948),(posiblemente la más antigua publicación que usa la notación del doble factorial) formula que el doble factorial fue introducido originalmente para simplificar la expresión de algunas integrales trigonométricas surgiendo en la derivación del producto de Wallis. Los factoriales dobles también surgen al expresar el volumen de una hiperesfera y tienen muchas aplicaciones en las combinatoria enumerativa. Los factoriales dobles aparecen en la distribución t de Student (1908), de la cual Gosset pensó que no se usara la notación de la doble exclamación.
El término factorial impar es utilizado en ocasiones para denominar el doble factorial de un número impar.
A causa de que el doble factorial solo involucra la mitad de factores que un factorial ordinal, su valor no es mayor que la raíz cuadrada del factorial n!, y es mucho menor que el factorial iterado (n!)!.
Para un entero positivo par n = 2k , k ≥ 0, el doble factorial se expresaría como:
Para un entero positivo impar n = 2k - 1, k ≥ 1, el doble factorial se expresaría como:
En esta expresión, el primer denominador es igual a (2k)!! y cancela los factores pares indeseados del numerador.
Para un entero positivo impar n=2k – 1, k≥1, el factorial doble se expresaría en términos de k-permutaciones de 2k como:
Los dobles factoriales están motivados por el hecho de que ocurren frecuentemente en la combinatoria enumerativa y otros ajustes. Por ejemplo, n!! para valores impares de n cuenta con:
El factorial ordinario, cuando se extiende a la función Gamma, tiene un polo en cada número entero negativo, impidiendo que el factorial se defina como dichos números. Sin embargo, el doble factorial de números impares puede extenderse a cualquier argumento de número entero impar negativo invirtiendo su relación de recurrencia.
Resulta en:
Usando esta recurrencia invertida, −1!! = 1, −3!! = −1, y −5!! = 13; los números impares negativos con mayor magnitud tienen dobles factoriales en forma de fracción. En particular, esto se da cuando n es un número impar,
Haciendo caso omiso de la definición anterior de n!! para valores pares de n, el factorial doble para enteros impares puede extenderse a la mayoría de los números reales y complejos z observando que cuando z es un entero impar positivo, entonces
De esto se puede derivar una definición alternativa de z !! para valores enteros pares no negativos de z:
con el valor de 0 !! en este caso siendo
La expresión encontrada para z!! se define para todos los números complejos excepto para los enteros pares negativos. Usándolo como en la definición, el volumen de una hiperesfera n-dimensional de radio R se puede expresar como
Para los valores integrales de n,
Usando en cambio la extensión del factor factorial doble de números impares a números complejos, la fórmula es
También se pueden usar dobles factoriales para evaluar integrales de polinomios trigonométricos más complicadas.
Los dobles factoriales de números impares están relacionados con la función gamma por la identidad:
Algunas identidades adicionales que implican dobles factoriales de números impares son:
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