Elemento unitario

En álgebra abstracta, un anillo es un sistema algebraico formado por un conjunto y dos operaciones internas, llamadas usualmente «suma» y «producto», que cumplen ciertas propiedades.

En términos más específicos, un anillo es una terna ${displaystyle (R,+,cdot )}$, donde ${displaystyle R}$ es un conjunto y + y • son operaciones binarias internas en ${displaystyle R}$, en donde ${displaystyle (R,+)}$ es un grupo abeliano, ${displaystyle (R,cdot )}$ es un monoide y se verifica la distributiva bilateral de • respecto de +. Suele denominarse «suma» y «producto» a las operaciones + y •, respectivamente. En esta convención, el elemento neutro de la suma se designa como 0, el opuesto con respecto a la suma de un elemento a, perteneciente al conjunto R dado, se denota como –a y el neutro del producto se designa como 1. Sería redundante decir que un anillo es un conjunto no vacío, pues una vez que se define como un grupo abeliano con la suma, esto queda claro.

El producto en un anillo no necesariamente tiene una operación inversa definida,^[1]​ a diferencia de otras estructuras algebraicas como el cuerpo. Si el producto es conmutativo, tal anillo se denomina «anillo conmutativo».

La teoría de anillos surgió de la exploración de asuntos vinculados con la divisibilidad entre números enteros, del estudio simultáneo de divisibilidad de polinomios y hasta del caso de los cuerpos, concretamente, de los números racionales, números reales, números complejos y de los números algebraicos, de los cuaterniones, fracciones racionales y otros. En la etapa inicial, fueron las materias de la teoría de números y de la geometría algebraica las que propiciaron los conceptos de anillo, cuerpo e ideal. En su estructuración axiomatica , tales ideas fueron fruto del esfuerzo de Dedekind y otros matemáticos a fines del siglo XIX. Sus aplicaciones al análisis matemático muestran los enfoques modernos de algebrización de tal disciplina matemática, que ocurren recién en el segundo cuarto del siglo XX.^[2]​

El término anillo fue propuesto por el matemático alemán David Hilbert en Der Zahlbericht (Informe sobre los números 1897). La frase anillo booleano pertenece a al matemático británico Arthur Harold Stone (1938).^[3]​

Considérese el conjunto de números enteros:

provisto de dos de las operaciones binarias: la adición y la multiplicación. Históricamente, el conjunto ℤ de los enteros con sus dos operaciones sirvió de base para la formulación del concepto de anillo^{[cita requerida]}. La razón por la cual los enteros forman un anillo es que poseen las siguientes propiedades:

Sea ${displaystyle R}$ un conjunto no vacío, y sean ${displaystyle star }$ y ${displaystyle circ }$ dos operaciones binarias en ${displaystyle R}$. Se dice que el conjunto ${displaystyle (R,star ,circ ),}$ es un anillo cuando se cumplen las siguientes propiedades:

Una quinta condición define un grupo abeliano:

Para definir un anillo, es necesario agregar cuatro condiciones más, las que conciernen acerca de la segunda operación binaria:

Y agregando una novena condición, se define un anillo conmutativo:

Cuando no se exige que exista un neutro de la segunda operación hablamos de pseudoanillo. También existe la definición de anillo que no incluye la existencia de un elemento neutro para la segunda operación, y en dicho caso se llama anillo unitario a los anillos que sí tienen dicho elemento neutro para la segunda operación y donde dicho elemento es distinto del neutro de la primera operación.

Una operación vinculada a la adición se puede definir en un anillo: la sustracción.

${displaystyle forall a,b,cin R,a(b-c)=ab-ac,(b-c)a=ba-ca}$

Sumando el inverso aditivo de ${displaystyle 0x}$, que existe dado que R es un grupo para la suma, ${displaystyle 0x-0x=0x}$

Luego, ${displaystyle forall ain Aquad a=0}$

Un subanillo ${displaystyle S}$ de un anillo ${displaystyle (R,+,cdot )}$ es un subconjunto ${displaystyle Ssubset R}$ que con las leyes de composición interna del anillo ${displaystyle R}$ cumple que, si ${displaystyle a,bin S}$, entonces ${displaystyle a+(-b)in S}$ y ${displaystyle acdot bin S}$. Si ${displaystyle 1in R}$ (es decir, si el anillo es unitario), entonces se exigirá además que ${displaystyle 1in S}$. Nótese que en este caso, cuando el anillo es unitario, {0} no será subanillo de ${displaystyle R}$, y sí lo será si ${displaystyle R}$ no es unitario.

Un subanillo ${displaystyle S}$ es propio cuando no coincide con todo el anillo, es decir, si ${displaystyle R eq S}$.

Resulta pues que un subanillo es un anillo dentro de otro anillo (para las mismas operaciones). En particular, ${displaystyle (S,+)}$ es un subgrupo de ${displaystyle (R,+)}$.

Ejemplos:

Un subconjunto ${displaystyle K}$ de un anillo ${displaystyle R}$ es subanillo de ${displaystyle R}$ si y solamente si

De mucho mayor interés en teoría de anillos son los ideales, puesto que no sólo son cerrados respecto de la multiplicación respecto de los elementos del ideal, sino también cuando un elemento del ideal se multiplica por cualquier elemento del anillo:

Cuando un subconjunto I es ideal por la derecha e ideal por la izquierda se dice que es un ideal bilátero, o simplemente ideal. La propiedad conmutativa asegura que en los anillos conmutativos todo ideal por la izquierda lo es también por la derecha, y todo ideal por la derecha es ideal por la izquierda, esto es, todos los ideales (por la izquierda o por la derecha) de un anillo conmutativo son ideales biláteros.

Un ideal no tiene por qué ser necesariamente un subanillo. Un ideal ${displaystyle I}$ se dice que es propio si es distinto de todo el anillo, esto es, ${displaystyle I eq R}$.

El conjunto de elementos invertibles de un anillo unitario ${displaystyle (R,+,cdot ,1_{R})}$, llamados unidades de R, forma un grupo respecto de la multiplicación del anillo, que recibe el nombre de grupo de unidades de R, denotado ${displaystyle U(R)}$.

Si ${displaystyle I}$ es ideal (por la izquierda, por la derecha o bilátero) propio de un anillo unitario ${displaystyle R}$, ${displaystyle U(R)}$ es el grupo de unidades de R, entonces ${displaystyle Icap U(R)=varnothing }$, esto es, ningún ideal propio tiene elementos invertibles. En particular, ningún ideal (por la izquierda, por la derecha o bilátero) propio tiene por elemento al 1, lo que impide a los ideales ser subanillos de anillos unitarios.

Por ejemplo, las unidades del anillo de los enteros son 1 y -1 (isomorfo al grupo de dos elementos), y el grupo de unidades de las matrices cuadradas de orden n es el grupo lineal general de orden n, que contiene a las matrices con determinante distinto de 0.

El centro de un anillo ${displaystyle (R,+,cdot )}$ (denotado por ${displaystyle Z(R)}$) es el conjunto de elementos que conmutan para el producto, es decir ${displaystyle Z(R):={rin R:rcdot s=scdot r,forall sin R}}$. El centro de un anillo viene a ser como "la parte conmutativa del anillo". Nótese que siempre se tiene que ${displaystyle 0in Z(R)}$. Los anillos conmutativos son aquellos que coinciden con su centro, i.e., ${displaystyle R=Z(R)}$.

Por ejemplo, el centro del anillo de las matrices cuadradas de orden n está constituido únicamente por las matrices escalares, aquellas que son iguales a la matriz identidad multiplicada por un escalar..

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