En álgebra abstracta, la teoría de anillos es el estudio de anillos —estructuras algebraicas en las cuales la adición y la multiplicación están definidas y tienen propiedades similares a aquellas operaciones definidas para los enteros—. La teoría de anillos estudia la estructura de anillos, sus representaciones, o, en lenguaje diferente, módulos, clases especiales de anillos (anillos de grupo, anillos de división, álgebras universales envolventes), así como una variedad de propiedades que resultaron de interés tanto dentro de la propia teoría y para sus aplicaciones, como propiedades homológicas e identidades polinómicas.
Los anillos conmutativos son mucho mejor entendidos que los no conmutativos. La geometría algebraica y la teoría de números algebraicos, los cuales proporcionan muchos ejemplos naturales de anillos conmutativos, han impulsado mucho el desarrollo de la teoría de anillos conmutativos, el cual está ahora, bajo el nombre de álgebra conmutativa, un área importante de la matemática moderna. Debido a que estos tres campos (geometría algebraica, teoría de números algebraicos y álgebra conmutativa) están tan íntimamente conectados, es normalmente difícil y sin sentido decidir a qué campo pertenece un resultado particular. Por ejemplo, El teorema de los ceros de Hilbert es un teorema que es fundamental para la geometría algebraica, y está declarado y probado en términos de álgebra conmutativa. Del mismo modo, el último teorema de Fermat está declarado en términos de aritmética elemental, el cual es una parte de álgebra conmutativa, pero su prueba implica resultados profundos tanto de la teoría de números algebraicos como de la geometría algebraica.
Los anillos no conmutativos son bastante diferentes en sabor, ya que un comportamiento más inusual puede surgir. Mientras la teoría se ha desarrollado por derecho propio, una tendencia bastante reciente ha buscado paralelizar el desarrollo conmutativo construyendo la teoría de ciertas clases de anillos no conmutativos de una manera geométrica como si fueran anillos de funciones sobre (no existentes) 'espacios no conmutativos'. Esta tendencia se inició en la década de 1980 con el desarrollo de la geometría no conmutativa y con el descubrimiento de grupos cuánticos. Esto ha llevado a una mejor comprensión de los anillos no conmutativos, especialmente anillos notherianos (Goodearl 1989).
Para las definiciones de un anillo y conceptos básicos y sus propiedades, ver anillo (matemática). Las definiciones de términos utilizados a lo largo de la teoría de anillos se pueden encontrar en el Anexo:Glosario de teoría de anillos.
Un anillo es conmutativo si su multiplicación es conmutativa. Los anillos conmutativos se parecen a los sistemas numéricos conocidos, y varias definiciones para los anillos conmutativos están diseñadas para formalizar las propiedades de los enteros. Los anillos conmutativos también son importantes en geometría algebraica. En la teoría de anillo conmutativo, los números suelen ser reemplazados por ideales, y la definición del ideal primo intenta capturar la esencia de números primos. Dominios de integridad, anillos conmutativos no triviales donde no hay dos elementos distintos de cero que multiplicados den cero, generalizan otra propiedad de los enteros y sirven como el dominio apropiado para estudiar la divisibilidad. Los dominios de ideales principales son dominios integrales en los cuales cada ideal puede ser generado por un solo elemento, otra propiedad compartida por los enteros. Los dominios euclidianos son dominios integrales en los que se puede llevar a cabo el algoritmo euclidiano. Ejemplos importantes de anillos conmutativos pueden ser construidos como anillos de polinomios y sus anillos de factor. Resumen: dominio euclidiano => dominio ideal principal => dominio de factorización única => dominio de integridad => anillo conmutativo.
La geometría algebraica es de muchas maneras la imagen de espejo del álgebra conmutativa. Esta correspondencia comenzó con el Teorema de los ceros de Hilbert que establece una correspondencia uno a uno entre los puntos de una variedad algebraica, y los ideales máximos de su anillo de coordenadas. Esta correspondencia ha sido ampliada y sistematizada para traducir (y probar) las propiedades más geométricas de las variedades algebraicas en propiedades algebraicas de los anillos conmutativos asociados. Alexander Grothendieck completó esto introduciendo esquemas, una generalización de variedades algebraicas, que pueden construirse a partir de cualquier anillo conmutativo. Más específicamente, el espectro de un anillo conmutativo es el espacio de sus ideales principales equipados con la topología de Zariski, y aumentado con un haz de anillos. Estos objetos son los "esquemas afines " (generalización de variedades afines), y un esquema general se obtiene "pegando" (por métodos puramente algebraicos) varios de estos esquemas afines, en analogía a la manera de construir un colector "pegando" los gráficos de un atlas.
Los anillos no conmutativos se parecen a anillos de matrices en muchos aspectos. Siguiendo el modelo de geometría algebraica, se han intentado recientemente definir geometrías no conmutativas basadas en anillos no conmutativos. Los anillos no conmutativos y el álgebra asociativa (anillos que también son espacios de vector) son a menudo estudiados a través de sus categorías de módulos. Un módulo sobre un anillo es un grupo abeliano en el que el anillo actúa como un anillo de endomorfismos, muy semejantes a los campos (dominios integrales en los que cada elemento distinto de cero es invertible) de manera que actúa encima espacios de vector. Ejemplos de anillos no conmutativos son dados por anillos de matrices cuadradas o más generalmente por anillos de endomorfismos de grupos abelianos o módulos, y por anillos monoidales.
La teoría de la representación es una rama de matemáticas que se basa en gran medida en los anillos no conmutativos. Estudia estructuras algebraicas abstractas representando sus elementos como transformaciones lineales de espacios vectoriales, y módulos de estudios sobre estas estructuras algebraicas abstractas. En esencia, una representación hace un objeto algebraico abstracto más concreto describiendo sus elementos mediante matrices y las operaciones algebraicas en términos de adición matricial y multiplicación matricial, que es no conmutativa. Los objetos algebraicos susceptibles de tal descripción incluyen grupos, álgebras asociativas y álgebras de Lie. El más prominente de estos (e históricamente el primero) es la teoría de representación de grupos, en la cual los elementos de un grupo se representan por las matrices invertibles de tal manera que la operación del grupo es la multiplicación de la matriz.
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