Eliminación de Gauss

En álgebra lineal, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así en honor de Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo que se usa para determinar la inversa de una matriz y las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.^[1]​ Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.^{[cita requerida]}

El método de eliminación de Gauss-Jordan aparece en el capítulo ocho del importante texto matemático chino Jiuzhang suanshu o Los nueve capítulos sobre el arte matemático. Su uso se ilustra en dieciocho problemas, de dos a cinco ecuaciones cada uno. La primera referencia al libro por este título data del 179 DC, pero algunas de sus partes fueron escritas tan pronto como alrededor del 150 a. C.,^[2]​^[3]​ en este año fue señalado por Liu Hui en el siglo III.

La complejidad computacional de la eliminación gaussiana es O(n³). Esto es, el máximo número de operaciones requeridas es del orden de n³ si el tamaño de la matriz es n × n.^[4]​

Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada reducida.

Supongamos que es necesario encontrar los números "x", "y", "z", que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones:

Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:

Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.

En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:

Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.

Entonces podemos resolver por Gauss al sustituir en el sistema de ecuaciones el valor de ${displaystyle z}$ continuando con las incógnitas anteriores de abajo hacia arriba y de derecha a izquierda obteniendo el valor de todas las incógnitas. Si continuamos con la variante de Gauss-Jordan eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.

Despejando, podemos ver las soluciones:

Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial:

Primero:

Después,

Por último.

Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta:

Que representa la ecuación: ${displaystyle 0x+0y+0z=a}$, donde a ≠ 0. Es decir, ${displaystyle 0=a}$, lo que supone una contradicción y, por tanto, no tiene solución. En el caso que a=0 el sistema tiene varias soluciones.

Dos formas especiales de matrices son la escalonada y la escalonada reducida. Una matriz puede tener las siguientes propiedades:

Si una matriz A cumple con esas propiedades, se dice escalonada. Además, cumpliendo estas otras condiciones que detallaremos a continuación, decimos que la matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por filas, o simplemente en forma escalonada reducida.

Cuando una matriz representa a un sistema de ecuaciones situaciones como tener una columna de ceros parece imposible ya que correspondería a una variable que nunca habría aparecido. Sin embargo esta situación puede presentarse (imaginemos la ecuación de un plano en el espacio en la que no aparece alguna de las componentes, por ejemplo y+z=5). Así la matriz

también es una matriz escalonada.

Una vez que la matriz del sistema se ha transformado hasta obtener una matriz escalonada reducida es muy fácil discutirlo (es decir, determinar cuántas soluciones tiene):

Es posible usar la eliminación gaussiana para encontrar inversas de matrices n × n. Para ello se aumenta la matriz dada, digamos A con una matriz identidad, simplemente escribiendo las filas de la identidad a continuación de las de nuestra matriz A, por ejemplo dada:

se construiría

y ahora se realizan las operaciones elementales sobre las filas de la matriz aumentada que sean necesarias para obtener la forma escalonada reducida de la matriz A; sumando tanto a la segunda como a la tercera fila la primera obtenemos

multiplicamos la segunda fila por -1 y la intercambiamos con la primera

ya tenemos el pivote de la primera fila que usamos para hacer ceros debajo

ahora usamos el pivote de la segunda fila

y por último cambiamos de signo la tercera fila y usamos el pivote correspondiente

El proceso ha finalizado porque en la parte izquierda tenemos la forma escalonada reducida de A y puesto que ésta es la matriz identidad, entonces A tiene inversa y su inversa es la matriz que aparece a la derecha, en el lugar que al principio ocupaba la identidad. Cuando la forma escalonada reducida que aparece no es la identidad es que la matriz de partida no tiene inversa.

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