Límite inverso

En matemáticas, el límite inverso (también llamado límite proyectivo) es una construcción que permite "pegar" varios objetos relacionados, la manera precisa del proceso de pegado es especificada mediante morfismos entre los objetos. Se pueden definir límites inversos en cualquier categoría, pero inicialmente consideraremos solo límites inversos de grupos.

A continuación se presentan una serie de definiciones que serán utilizadas luego: inverso (o proyectivo) sistema de grupos y homomorfismos. Sea (I, ≤) un poset dirigido (aunque no todos los autores requieren que I sea dirigido). Sea (A_i)_i∈I una familia de grupos y supongamos que se tiene una familia de homomorfismos f_ij : A_j → A_i para todo i ≤ j (notar el orden) con las siguientes propiedades:

Entonces los conjuntos de pares (A_i, f_ij) es llamado un sistema inverso de grupos y morfismos sobre I.

Definimos al límite inverso del sistema inverso (A_i, f_ij) como un subgrupo particular del producto directo de cada A_i:

El límite inverso, A, posee proyecciones naturales π_i : A → A_i que toman la componente iésima del producto directo. El límite inverso y las proyecciones naturales satisfacen una propiedad universal descrita en la próxima sección.

Esta misma construcción puede ser realizada si los A_i's son conjuntos, anillos, módulos (sobre un anillo fijo), álgebras (sobre un campo fijo), etc., y los homomorfismos son homomorfismos en la categoría correspondiente. El límite inverso también pertenecerá a esa categoría.

El límite inverso puede ser definido en forma abstracta en una categoría arbitraria por medio de una propiedad universal. Sea (X_i, f_ij) un sistema inverso de objetos y morfismos en una categoría C (con la misma definición indicada previamente). El límite inverso de este sistema es un objeto X en C junto con morfismos π_i : X → X_i (llamadas proyecciones) que satisfacen π_i = f_ij O π_j . El par (X, π_i) debe ser universal en el sentido que para todo otro par del tipo (Y, ψ_i) existe un único morfismo u : Y → X que hace que todas las identidades "obvias" sean verdaderas; o sea el diagrama.

debe conmutar para todo i, j. El límite inverso es por lo general indicado como

donde se entiende que posee un sistema inverso (X_i, f_ij).

Al contrario de lo que sucede para objetos algebraicos, puede que el límite inverso no exista en una categoría arbitraria. Pero, si es que existe, entonces es único en un sentido estricto: dado otro límite inverso X′ existe un único isomorfismo X′ → X que conmuta con los mapas de proyección.

Es de notar que un sistema inverso en la categoría C admite una descripción alternativa mediante functors. Todo conjunto parcialmente ordenado I puede ser considerado como una categoría pequeña donde los morfismos son flechas i → j ssi i ≤ j. Un sistema inverso es entonces el functor contravariante I → C.

La categoría dual de un límite inverso es un límite directo (o límite inductivo). Conceptos más generales son los límites y colímites de la teoría de categoría. La terminología es un tanto confusa: los límites inversos son límites, mientras que los límites directos son colímites.

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