Teorema del coseno

El teorema del coseno, denominado también como ley de cosenos,^[2]​ es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos en trigonometría.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Teorema del coseno

Dado un triángulo ABC cualquiera, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores.

Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.^[3]​ Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:

Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua), la notación moderna permite formular el enunciado así:

${displaystyle AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}+2 CA CH}$

Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani^[5]​ generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.^[6]​^[7]​ Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi,^[8]​ matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.^[9]​

Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.^[10]​

El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo ${displaystyle gamma ,}$ es recto o, dicho de otro modo, cuando ${displaystyle cos gamma =0,}$, el teorema del coseno se reduce a:

${displaystyle ,c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.

El teorema se utiliza en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y saber determinar:

${displaystyle c={sqrt {a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }}}$.

${displaystyle gamma =arccos {frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$.

Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utilizando métodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.

Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos triángulos semejantes ABC y A'B'C'

${displaystyle ,cc'=aa'+bb'-(ab'+a'b)cos gamma }$.

Un cierto número de las demostraciones del teorema hacen intervenir un cálculo de áreas. Conviene en efecto remarcar que

Dado que cos(γ) cambia de signo dependiendo de si γ es mayor o menor a 90°, se hace necesario dividir la prueba en dos casos.

La figura 4a (contigua) divide un heptágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo agudo. La división es la siguiente:

Igualando las áreas y cancelando las figuras iguales se obtiene que ${ extstyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab,cos gamma }$, equivalente al Teorema del coseno.

La figura 4b (contigua) desglosa un hexágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo obtuso. La figura muestra

Igualando áreas y cancelando las zonas rojas da ${displaystyle ,a^{2}+b^{2}-2abcos gamma =c^{2}}$, como queríamos demostrar.

Notemos que el teorema de cosenos es equivalente al teorema de Pitágoras cuando el ángulo ${displaystyle gamma }$ es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso.

Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.

Consideremos la figura adjunta. Por el teorema de Pitágoras, la longitud c es calculada así:

(left)${displaystyle c^{2}=h^{2}+u^{2},}$

Pero, la longitud h también se calcula así:

(left)${displaystyle h^{2}=a^{2}-(b-u)^{2},}$

Sumando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos:

${displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}+2bu,}$

Por la definición de coseno, se tiene:

${displaystyle cosgamma ,={frac {b-u}{a}}}$

y por lo tanto:

${displaystyle u=b-a,cos gamma ,}$

Sustituimos el valor de u en la ecuación para c², concluyendo que:

${displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab,cos gamma }$

con lo que concluye la prueba del primer caso.

Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso.

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevamente ${displaystyle c^{2}=h^{2}+u^{2}}$ pero en este caso ${displaystyle h^{2}=a^{2}-(b+u)^{2}}$. Combinando ambas ecuaciones obtenemos ${displaystyle c^{2}=u^{2}+a^{2}-b^{2}-2bu-u^{2}}$ y de este modo:

${displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}-2bu,}$.

De la definición de coseno, se tiene ${displaystyle cosgamma ,={frac {b+u}{a}}}$ y por tanto:

${displaystyle u=a,cos gamma -b,}$.

Sustituimos en la expresión para ${displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}-2b(acos gamma -b)}$, concluyendo nuevamente

${displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab,cos gamma ,}$.

Esto concluye la demostración. c² = a² - b² - 2b(a cos(γ) - b) Es importante notar, que si se considera a u como un segmento dirigido, entonces sólo hay un caso y las dos demostraciones se convierten en la misma.

Consideremos un círculo con centro en B y radio BC, como en la figura 6. Si AC es tangente al círculo, nuevamente se tiene el Teorema de Pitágoras. Cuando AC no es tangente, existe otro punto K de corte con el círculo. La potencia del punto A con respecto a dicho círculo es

${displaystyle APcdot AL=ACcdot AK=AC(AC+CK)}$.

Por otro lado, AL = c+a y AP = c-a de modo que

${displaystyle APcdot AL=(c+a)(c-a)=c^{2}-a^{2}}$.

Además, CK= -2a cos(γ) (ver el apéndice) por lo que

${displaystyle AC(AC+CK)=b(b-2a,cos(gamma ))}$.

Igualando las expresiones obtenidas se llega finalmente a:

${displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a;b,cos(gamma )}$

Contrariamente a las precedentes, para esta demostración, no es necesario recurrir a un estudio por caso pues las relaciones algebraicas son las mismas para el caso del ángulo agudo.

Considere la figura de la derecha en el plano complejo.

Demostraremos que ${displaystyle |c|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-2|a|cdot |b|cos gamma }$

Por la gráfica sucede ${displaystyle c=b-a}$, sacando módulo al cuadrado:

${displaystyle |c|^{2}=|b-a|^{2}}$

Por propiedad de complejos con conjugados (${displaystyle |u|^{2}=u{overline {u}}}$):

${displaystyle |c|^{2}=(b-a){overline {(b-a)}}}$

${displaystyle |c|^{2}=(b-a)({overline {b}}-{overline {a}})}$

Note que ${displaystyle {overline {a}}=a}$ porque ${displaystyle a}$ es real (vea la gráfica). Entonces:

${displaystyle |c|^{2}=(b-a)({overline {b}}-a)}$

${displaystyle |c|^{2}=b{overline {b}}-a{overline {b}}-ab+a^{2}}$

${displaystyle |c|^{2}=b{overline {b}}-a({overline {b}}+b)+a^{2}}$

${displaystyle |c|^{2}=underbrace {b{overline {b}}} _{|b|^{2}}-aunderbrace {({overline {b}}+b)} _{2Re (b)}+underbrace {a^{2}} _{|a|^{2}}}$

${displaystyle |c|^{2}=|b|^{2}-acdot 2Re (b)+|a|^{2}}$

Note que ${displaystyle Re (b)=|b|cos gamma }$ (vea la gráfica). Luego:

${displaystyle |c|^{2}=|b|^{2}-acdot 2|b|cos gamma +|a|^{2}}$

Para finalizar, note que ${displaystyle |a|=a}$ (porque ${displaystyle a}$ es real positivo):

${displaystyle |c|^{2}=|b|^{2}-|a|cdot 2|b|cos gamma +|a|^{2}}$

${displaystyle |c|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-2|a|cdot |b|cos gamma }$ ${displaystyle square }$

Utilizando el cálculo vectorial, más precisamente el producto escalar, es posible encontrar el teorema del coseno en algunas líneas:

Cualquiera que sea el triángulo ABC se cumple que

Si el ángulo γ es igual a 90º, la proposición se traduce al Teorema de Pitágoras, puesto que cos 90º=0. En el caso de que el ángulo sea agudo, según un teorema anterior se tiene que

En el triángulo ACD, se cumple que ${displaystyle CD=ACcos gamma .}$. Por ello

Sea esta vez γ un ángulo obtuso, se cumple que:

pero en el triángulo ADC,^[11]​ se halla que ${displaystyle CD=ACcdot cos({widehat {ACD}}).}$. Sin embargo el ángulo ACD es el suplemento del ángulo γ del triángulo ABC. De esta manera se tiene que ${displaystyle cos({widehat {ACD}})=-cos gamma }$, por consiguiente ${displaystyle -ACcos gamma }$ y finalmente

quedando demostrado el teorema.^[12]​

Para una superficie no euclídea de curvatura K, señalamos con R el radio de curvatura. Este verifica

Definimos entonces las dimensiones reducidas del triángulo:

En el caso de un triángulo esférico, a, b y c corresponden a la medida angular de los segmentos de circunferencia maximal^[13]​ [BC], [AC] y [AB] (ver Fig. 7).

Cuando el radio de curvatura es muy grande comparado con las dimensiones del triángulo, es decir cuando

esta expresión se simplifica para dar la versión euclídea del teorema del coseno. Para hacerlo,

Existe una identidad similar que relaciona los tres ángulos:

En un triángulo hiperbólico ABC, el teorema del coseno se escribe

Cuando el radio de curvatura se vuelve muy grande frente las dimensiones del triángulo, encontramos el teorema del coseno euclídeo a partir de los desarrollos limitados

Consideremos un tetraedro A₁A₂A₃A₄ del espacio euclídeo, siendo:

(La figura 8, contigua, presenta la notación de los vértices, caras y ángulos del tetraedro).

Entonces, las superficies y ángulos verifican:

Se afirma:

Un paralelogramo cuyos lados miden a y b, formando un ángulo de 90°-γ, tiene un área de ab cos(γ).

Considérese un paralelogramo de lados a y b, formando un ángulo de θ, como en el diagrama. Dividiendo el paralelogramo por medio de una diagonal arroja dos zonas triangulares. En una de ellas, se construye una altura h como se muestra en la figura.

La zona triangular roja tiene por área ah/2. Por definición, sin(θ)=h/b,^[14]​ de modo que h=b sin(θ). La sustitución en la fórmula del área triangular prueba que:^[15]​

El área de un triángulo en donde dos lados de medidas a y b forman un ángulo de θ es

Dado que el área del paralelogramo es el doble del triángulo,^[16]​ se concluye que

El área de un paralelogramo de lados a y b formando un ángulo de θ es

La conclusión se sigue notando que si θ=90-γ entonces sen(θ)=sen(90°-γ) = cos(γ). Se hace notar también que la demostración es independiente de cual de las diagonales del paralelogramo se escoja, puesto que sen(θ)=sen(180°-θ).

En la demostración del Teorema del coseno usando potencia de un punto, se afirma que el segmento CK en el diagrama mide precisamente -2a cos(γ).

La demostración más sencilla consiste en prolongar el segmento CB hasta cortar nuevamente la circunferencia en un punto D, de modo que CD es un diámetro del círculo, puesto que pasa por el centro del mismo.

Al ser un diámetro, el ángulo inscrito CKD es necesariamente recto por lo que el triángulo CKD es rectángulo. El ángulo DCK mide θ=180°-γ y por definición:

${displaystyle cos( heta )={frac {CK}{CD}}={frac {CK}{2a}}}$

y por tanto

${displaystyle CK=2acos( heta )=2acos(180^{circ }-gamma )=-2acos(gamma )}$

ya que cos(180°-x) = -cos(x) para cualquier valor de x.

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