Triángulos rectángulos

En geometría, se denomina triángulo rectángulo a cualquier triángulo que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados.^[1]​^[2]​ Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana. En particular, en un triángulo rectángulo, se cumple el llamado teorema de Pitágoras ya conocido por los babilonios,^[3]​ entre los años 2000 y 1600 a.C, en la Mesopotamia.

Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo rectángulo y es el lado opuesto al ángulo recto. Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto; cada cateto se opone a un ángulo agudo. Sólo si la medida de los tres lados son números enteros, estos constituyen un trío de nombre terna pitagórica.

Si los catetos son iguales se llama triángulo rectángulo isósceles ( 45-90-45); siendo

0. ${displaystyle operatorname {sen} {frac {pi }{4}}={frac { ext{cateto}}{ ext{hipotenusa}}}={frac {sqrt {2}}{2}}}$

Un triángulo rectángulo escaleno muy conocido, es el que tiene el cateto menor igual a la mitad de la hipotenusa, y estos dos lados forman un ángulo agudo de 30º y el otro ángulo de 60º, (30-90-60) y se obtiene al bisecar un triángulo equilátero por su altura; resultan estas razones entre dichos lados. Si admitimos que el lado del triángulo equilátero es ${displaystyle 2a}$ y mediante una altura se obtienen dos triángulos rectángulos, tal que en cada uno la hipotenusa es ${displaystyle 2a}$ ; cateto opuesto al ángulo de 30º, ${displaystyle a}$ y cateto opuesto al ángulo de 60º, ${displaystyle a{sqrt {3}}}$, se obtienen los siguientes valores de los respectivos senos:

1. ${displaystyle operatorname {sen} {frac {pi }{6}}={frac { ext{cateto menor}}{ ext{hipotenusa}}}={frac {a}{2a}}={frac {1}{2}}}$

2. ${displaystyle operatorname {sen} {frac {pi }{3}}={frac { ext{cateto mayor}}{ ext{hipotenusa}}}={frac {a{sqrt {3}}}{2a}}={frac {sqrt {3}}{2}}}$^[4]​

En todo triángulo rectángulo se cumple que:

Existen dos tipos de triángulo rectángulo:

Triángulo rectángulo isósceles.

Triángulo rectángulo escaleno.

Las relaciones métricas del triángulo rectángulo son cuatro. Los tres triángulos formados al trazar la altura relativa a la hipotenusa son rectángulos y semejantes.

Por semejanza de triángulos, tenemos que:

El teorema de Pitágoras establece que:

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Fórmulas para calcular un lado desconocido en función de los otros dos, donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa.

El teorema de "la altura de un triángulo rectángulo" establece que:

Teorema de la altura (forma 1)

En cualquier triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es la media geométrica entre las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.

La altura del triángulo rectángulo ABC (véase Figura 1) lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes, de forma que

Multiplicando los dos miembros de la igualdad por ${displaystyle hn}$ se tiene:

por lo que

(1)${displaystyle h={sqrt {m,n}}}$

La altura h correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo (véase Figura 1) también puede obtenerse reemplazando a los valores m y n de la ecuación (1) del presente teorema por sus respectivos equivalentes dados por el teorema del cateto.

(h2)${displaystyle h={sqrt {m,n}}={sqrt {{frac {b^{2}}{a}}{frac {c^{2}}{a}}}}}$

lo que al simplificar en el último término de la ecuación (h2) la raíz con los cuadrados nos conduce a:

(h3)${displaystyle h={frac {b,c}{a}}}$

Donde h es la altura (relativa a la hipotenusa), b y c los catetos y a la hipotenusa.

La ecuación (h3) nos permite establecer el enunciado (forma 2) del teorema:

Teorema de la altura (forma 2)

En todo triángulo rectángulo la altura h (relativa a la hipotenusa) es igual al producto de sus catetos b y c divididos por la hipotenusa a.

El teorema del cateto establece lo siguiente:

Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección ortogonal de ese cateto sobre la hipotenusa.

Este teorema (véase Figura 1) puede expresarse matemáticamente —para cada uno de sus dos catetos— como:

${displaystyle b^{2} = c;m}$

${displaystyle a^{2} = c;n}$

Donde m y n son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa c.

Sea el triángulo ΔABC rectángulo en C, dispuesto de modo que su base es la hipotenusa c. La altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa.

Los triángulos rectángulos ΔABC, ΔACH y ΔBCH tienen iguales sus ángulos, y por lo tanto son semejantes:

Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:

de donde,

y el teorema queda demostrado.

“En todo triángulo rectángulo la longitud de la proyección ortogonal de cualquier cateto sobre la hipotenusa es igual al cuadrado de la longitud de ese mismo cateto dividido por la longitud de la hipotenusa.”

Basados en las dos ecuaciones del teorema anterior, para deducir el «corolario 1» basta con despejar en cada una de ellas, la respectiva variable de su proyección ortogonal, siendo éstas m y n:

${displaystyle b^{2} = c;m;;;;;;;;;a^{2} = c;n}$

en las que al despejar respectivamente m y n producen las ecuaciones del «corolario 1»:

${displaystyle m={frac {b^{2}}{c}};;;;;;;;;n={frac {a^{2}}{c}}}$

donde m es la proyección ortogonal del cateto b sobre la hipotenusa c (véase figura 1) y n es la proyección ortogonal del cateto a también sobre la hipotenusa c.

Un triángulo rectángulo puede dividirse en dos triángulos rectángulos, obteniendo tres triángulos semejantes entre sí (el original y los dos divididos). Para esto, la medida de cada cateto es media proporcional entre la medida de la hipotenusa y la medida de la proyección de éste sobre ella.^[9]​^[10]​

${displaystyle {frac {a}{b}}={frac {b}{m}}}$   , también se cumple:   ${displaystyle {frac {a}{c}}={frac {c}{n}}}$

La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa.

${displaystyle {frac {m}{h}}={frac {h}{n}}}$   , es decir:   ${displaystyle h^{2}=mcdot n,}$

Las tres alturas del triángulo rectángulo pueden calcularse como:

${displaystyle h_{a}={frac {bcdot c}{a}}}$   ;   ${displaystyle h_{b}=c}$   ;   ${displaystyle h_{c}=b}$

donde b y c son los catetos y a, la hipotenusa, en tanto que h_a, h_b y h_c son las alturas sobre los respectivos lados.

En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo, con vértice en 'A, con medida ${displaystyle alpha ;}$ ', son:

El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,

Se puede considerar el área de un triángulo rectángulo como la mitad del área de un rectángulo partido por su diagonal, véase fig. ar1, (o un cuadrado si el triángulo rectángulo es además isósceles).

(A1)${displaystyle A={frac {bcdot a}{2}}}$

donde a y b de la ecuación (A1) representan las medidas de los dos catetos que coinciden con los dos lados y las correspondientes alturas del rectángulo (véase fig. ar1).

En todo triángulo rectángulo cada uno de los dos catetos es siempre la respectiva altura del otro. Asumiendo que a = cateto1 y b = cateto2 se puede escribir una versión equivalente de ecuación (A1) de la siguiente manera:

${displaystyle A={frac {cateto1cdot cateto2}{2}}}$

La demostración anterior es solo un caso especial, restringido, de una mucho más general que vale para todo triángulo (no solo para los triángulos rectángulos); Y esta es la "proposición I.41^[12]​ de Euclides, la cual se basa en el concepto más general de paralelogramo y no se restringe al rectángulo. Dicha proposición I.41 extiende la validez de la ecuación (A1) a todo triángulo.

El triángulo rectángulo de mayor área que se puede inscribir en una semicircunferencia es el triángulo rectángulo isósceles, es decir, el que tiene los catetos iguales y de longitud ${displaystyle R{sqrt {2}}}$ donde R es el radio de la semicircunferencia circunscrita y la hipotenusa coincide con el diámetro.

Un triángulo rectángulo que gira, teniendo como eje uno de sus catetos y como generatriz su hipotenusa, genera un cono de radio igual el cateto no axial y altura igual al cateto axial.

Si dos triángulos rectángulos semejantes engendran dos conos, en las condiciones del enunciado precedente, entonces sus volúmenes son proporcionales a los cubos de cualquier par de lados correspondientes. También las áreas son proporcionales a los cuadrados de cualquier par de lados correspondientes.

Si ambos conos tienen el mismo eje, y un plano secante que interseca ambos conos genera dos elipses, dichas elipses tienen ejes proporcionales entre sí (es decir, son semejantes).^[13]​

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