Variedades algebraicas

En geometría algebraica, una variedad algebraica es esencialmente un conjunto de puntos (finito o infinito) en los cuales un polinomio (de una o más variables) toma un valor cero, o en el cual un conjunto de tales polinomios toma un valor cero. Las variedades algebraicas son uno de los objetos centrales de estudio de la geometría algebraica clásica (y en ciertos aspectos moderna).

Desde un punto de vista histórico, el teorema fundamental del álgebra estableció la relación entre el álgebra y la geometría al indicar que un polinomio de una variable en los números complejos queda determinado por su conjunto de raíces, que es un objeto geométrico inherente. Construyendo sobre este resultado, el Teorema de los ceros de Hilbert establece una correspondencia fundamental entre los ideales de los anillos de polinomios y los subconjuntos del espacio afín. Utilizando el teorema de ceros y sus resultados asociados, es posible capturar la noción geométrica de una variedad en términos algebraicos como también hacer que la geometría entienda sobre temas de la teoría de anillos.

Sea ${displaystyle scriptstyle mathbb {K} }$ un cuerpo. Sea ${displaystyle scriptstyle mathbb {K} [x_{1},...,x_{n}]}$ el anillo de polinomios en las variables ${displaystyle scriptstyle x_{1},...,x_{n}}$ y coeficientes en el cuerpo ${displaystyle scriptstyle mathbb {K} }$. Sea ${displaystyle scriptstyle Ssubset mathbb {K} [x_{1},...,x_{n}]}$. Se define la variedad afín determinada por ${displaystyle scriptstyle S}$ (denotada por ${displaystyle scriptstyle V(S)}$) al conjunto:

${displaystyle V(S):={ain mathbb {K} ^{n}:f(a)=0,fin S}}$.

Es decir, V(S) representa el conjunto de puntos del espacio afín ${displaystyle scriptstyle mathbb {K} ^{n}}$ en los que se anulan todos los polinomios de ${displaystyle scriptstyle S}$.

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