Versor

En álgebra lineal y física, un vector unitario o versor es un vector de módulo uno. En ocasiones se le llama también vector normalizado.

Un vector unitario se denota frecuentemente con un acento circunflejo sobre su nombre, como ${displaystyle mathbf {hat {r}} }$ (se lee "r vector" o "vector r"). La notación mediante el uso de una breve (${displaystyle mathbf {reve {r}} ,}$) también es común, especialmente en desarrollos manuscritos. La tendencia actual es representar el vector en la dirección del vector ${displaystyle mathbf {r} ,}$ en la forma ${displaystyle mathbf {u} _{ ext{r}},}$.

O en forma más compacta:^{[cita requerida]}

${displaystyle forall mathbf {v} in mathbb {R} ^{n}:mathbf {v} equiv mathbf {hat {v}} Leftrightarrow |mathbf {v} |=1}$

Con frecuencia resulta conveniente disponer de un vector unitario que tenga la misma dirección que un vector dado ${displaystyle mathbf {v} }$. A tal vector se le llama versor asociado al vector ${displaystyle mathbf {v} }$ y se puede representar bien sea por ${displaystyle mathbf {hat {v}} }$ o por ${displaystyle mathbf {u} _{v}}$ e indica una dirección en el espacio.

La operación que permite hallar ${displaystyle mathbf {hat {v}} }$ es la división del vector entre su módulo.

${displaystyle mathbf {hat {v}} ={frac {mathbf {vec {v}} }{|mathbf {v} |}}}$

Al proceso de obtener un versor asociado a un vector se le conoce como normalización del vector, razón por la cual es común referirse a un vector unitario como vector normalizado.

El método para transformar una base ortogonal (obtenida, por ejemplo mediante el método de ortogonalización de Gram-Schmidt) en una base ortonormal (es decir, una base en la que todos los vectores son versores) consiste simplemente en normalizar todos los vectores de la base utilizando la ecuación anterior.

En el espacio euclídeo, el producto escalar de dos vectores unitarios es simplemente el coseno del ángulo entre ellos. Esto es consecuencia de la definición de producto escalar y del hecho de que el módulo de ambos vectores es la unidad:

${displaystyle mathbf {hat {u}} cdot mathbf {hat {v}} =|mathbf {hat {u}} ||mathbf {hat {v}} |cos heta }$

Pero:

${displaystyle |mathbf {hat {u}} |=|mathbf {hat {v}} |=1}$

Por lo tanto:

${displaystyle mathbf {hat {u}} cdot mathbf {hat {v}} =cos heta }$

donde θ es el ángulo entre ambos vectores.

De lo anterior, resulta que el producto de un vector por un versor (o vector unitario) es la proyección escalar del vector sobre la dirección determinada por el vector.

${displaystyle mathbf {F} cdot mathbf {hat {n}} =|mathbf {F} ||mathbf {hat {n}} |cos heta }$

Como el módulo del vector ${displaystyle mathbf {hat {n}} }$ es la unidad, la ecuación anterior se transforma en:

${displaystyle mathbf {F} cdot mathbf {hat {n}} =|mathbf {F} |cos heta }$

de donde es evidente lo afirmado al comienzo de este apartado. Este resultado es muy frecuente en física, donde en necesario operar, por ejemplo, con las componentes ortogonales a una superficie.

Los versores asociados con las direcciones de los ejes coordenados cartesianos ${displaystyle x,,y,,z,}$ se designan por ${displaystyle mathbf {i} ,,mathbf {j} ,,mathbf {k} ,}$, respectivamente. Los versores cartesianos permiten expresar analíticamente los vectores por medio de sus componentes cartesianas. Ejemplo: la expresión analítica del vector ${displaystyle {mathbf {v} =(1,-2,3),}}$ es

${displaystyle {mathbf {v} =mathbf {i} -2mathbf {j} +3mathbf {k} }}$

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