Órbita circular

Una órbita circular en un sistema de fuerzas gravitatorias es una trayectoria con una distancia fija alrededor del baricentro, es decir, con la forma de una circunferencia.

Para los cálculos siguientes, se considera la órbita circular de acuerdo con los principios de la astrodinámica bajo los supuestos habituales. Así, la fuerza centrípeta es la atracción gravitacional, y el punto mencionado anteriormente es la intersección del plano del movimiento con la recta perpendicular al propio plano del movimiento que atraviesa el centro de la masa principal.

En este caso, no solo la distancia, sino también la velocidad, la velocidad angular, el potencial y la energía cinética son constantes. No hay periápside o apoápside. Esta órbita no tiene una versión radial (véase trayectoria radial).

La aceleración transversal (perpendicular a la velocidad) causa cambios en la dirección. Si es constante en magnitud y cambia de dirección con la velocidad, se obtiene un movimiento circular. Para esta aceleración se tiene que

donde:

La fórmula es adimensional. Describe una relación que se cumple para todas las unidades de medida aplicadas uniformemente a través de la fórmula. Si el valor numérico de ${displaystyle mathbf {a} }$ se mide en metros por segundo al cuadrado, los valores numéricos para ${displaystyle v,}$ serán en metros por segundo, ${displaystyle r,}$ en metros y ${displaystyle omega }$ en radianes por segundo.

La velocidad relativa es constante:

donde:

La ecuación orbital en coordenadas polares, que en general establece r en función de θ, se reduce a:

donde:

Esto es porque ${displaystyle mu =rv^{2}}$

Por lo tanto, el período orbital (${displaystyle T,!}$) se puede calcular como:

Comparadas dos cantidades proporcionales, el tiempo de caída libre (tiempo de caída de una masa desde un punto en reposo)

y el tiempo de caída de un punto material desde el reposo en una órbita parabólica radial

El hecho de que las fórmulas solo difieran por un factor constante es a priori un caso claro de análisis dimensional.

La energía orbital específica (${displaystyle epsilon ,}$) es negativa, y

Por lo tanto, el teorema del virial se aplica incluso sin tomar un promedio de tiempo:

La velocidad de escape desde cualquier distancia es √2 veces la velocidad en una órbita circular a esa distancia: la energía cinética es el doble, y por lo tanto, la energía total es cero.

Maniobrar hacia una gran órbita circular (como una órbita geoestacionaria), requiere un delta-v más grande que una órbita de escape, aunque esta última implica alejarse arbitrariamente y tener más energía de la necesaria para adquirir la velocidad orbital de la órbita circular. También es una cuestión de maniobrar la ubicación en la órbita. (Véase también órbita de transferencia de Hohmann).

En la métrica de Schwarzschild, la velocidad orbital de una órbita circular con radio ${displaystyle r}$ viene dada por la siguiente fórmula:

donde ${displaystyle scriptstyle r_{S}={frac {2GM}{c^{2}}}}$ es el radio de Schwarzschild del cuerpo central.

Por razones de conveniencia, la deducción se escribirá en unidades en las que ${displaystyle scriptstyle c=G=1}$.

La cuadrivelocidad de un cuerpo en una órbita circular viene dada por:

(${displaystyle scriptstyle r}$ es constante en una órbita circular, y las coordenadas se pueden elegir de modo que ${displaystyle scriptstyle heta ={frac {pi }{2}}}$). El punto sobre una variable denota la derivada con respecto al tiempo propio.${displaystyle scriptstyle au }$

Para una partícula masiva, los componentes de la cuadrivelocidad satisfacen la siguiente ecuación:

Usando la ecuación geodésica:

La única ecuación no trivial es la de ${displaystyle scriptstyle mu =r}$. Esto da:

De donde se obtiene:

Sustituyendo este resultado en la ecuación para una partícula masiva da:

Y por lo tanto:

Supóngase que se tiene un observador situado en el radio ${displaystyle scriptstyle r}$, que no se mueve con respecto al cuerpo central, es decir, su cuadrivelocidad es proporcional al vector ${displaystyle scriptstyle partial _{t}}$. La condición de normalización implica que es igual a:

El producto escalar de la cuadrivelocidad del observador y del cuerpo en orbita es igual al factor gamma para el cuerpo en órbita relativo al observador, y por lo tanto:

Esto resulta en la expresión de la velocidad:

O, en unidades del SI: