Análisis complejo

El análisis complejo (o teoría de las funciones de variable compleja) es la rama de las matemáticas que en parte investiga las funciones holomorfas, también llamadas funciones analíticas. Una función es holomorfa en una región abierta del plano complejo si está definida en esta región, toma valores complejos y por último es diferenciable en cada punto de esta región abierta con derivadas continuas.

El que una función compleja sea diferenciable en el sentido complejo tiene consecuencias mucho más fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales. Por ejemplo, toda función holomorfa se puede representar como una serie de potencias en algún disco abierto donde la serie converge a la función. Si la serie de potencias converge en todo el plano complejo se dice que la función es entera. Una definición relacionada con función holomorfa es función analítica: una función compleja sobre los complejos que puede ser representada como una serie de potencias. De modo que toda función holomorfa también cumple la definición de función analítica pero no toda función analítica es holomorfa. En particular, las funciones holomorfas son infinitamente diferenciables, un hecho que es marcadamente diferente de lo que ocurre en las funciones reales diferenciables. La mayoría de las funciones elementales como lo son, por ejemplo, algunos polinomios, la función exponencial y las funciones trigonométricas, son holomorfas.

El análisis complejo es una de las ramas clásicas de las matemáticas que tiene sus raíces más allá del siglo XIX. Los nombres destacados en su desarrollo son Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass y muchos más en el siglo XX. Tradicionalmente, el análisis complejo, en particular la teoría de las aplicaciones conformes, tiene muchas aplicaciones en ingeniería, pero es ampliamente usada también en teoría de números analítica. En tiempos modernos se convirtió en popular gracias al empuje de la dinámica compleja y los dibujos de fractales, producidos por la iteración de funciones holomorfas, de los cuales el más popular es el conjunto de Mandelbrot. Otras aplicaciones importantes del análisis complejo son las de la teoría de cuerdas, una teoría de campos cuánticos conforme-invariante.

Una herramienta de central importancia en el análisis complejo es la integral de contorno. La integral de una función que sea holomorfa sobre y en el interior de un camino cerrado es siempre cero. Esto es el Teorema integral de Cauchy. Los valores de una función holomorfa dentro de un disco pueden ser hallados mediante una integral de contorno sobre la frontera del disco (fórmula integral de Cauchy). Las integrales de contorno en el plano complejo se usan a menudo para encontrar integrales reales complicadas, y para esto es útil la teoría de los residuos. Si una función tiene un una singularidad en algún punto (o número finitos de ellos), que quiere decir que sus valores "estallan", que no tiene un valor finito en tales puntos, entonces se puede definir el residuo de la función en dicha singularidad, y estos residuos pueden ser usados para calcular integrales aparentemente difíciles de una manera sencilla, este es el contenido del poderoso teorema de los residuos. El curioso comportamiento de las funciones holomorfas cerca de las singularidades esenciales es descrito por el teorema de Weierstrass-Casorati. Las funciones que tienen solo polos (un tipo de singularidad de funciones racionales donde el polinomio denominador tiene un número finito de ceros) y no singularidades esenciales se dicen meromorfas.

Las series de Laurent son similares a las series de Taylor pero pueden ser usadas para estudiar el comportamiento de las funciones cerca de las singularidades.

Una función acotada que sea holomorfa en el plano complejo debe ser constante; esto es el Teorema de Liouville, que puede usarse para dar una prueba natural y breve del Teorema fundamental del álgebra, que dice que el cuerpo de los números complejos es un cuerpo algebraicamente cerrado.

Una propiedad importante de las funciones holomorfas es que si una función lo es en un dominio simplemente conexo entonces sus valores están completamente determinados por sus valores sobre cualquier subdominio más pequeño. La función sobre el dominio más grande se diría que está analíticamente continuada, que es la continuación desde sus valores en el dominio más pequeño. Esto permite extender, a casi todo el plano, la definición de funciones como la función ζ de Riemann que están inicialmente definidas en términos de sumas infinitas que convergen solo sobre dominios limitados. Algunas veces, como en el caso del logaritmo natural, es imposible continuar analíticamente una función holomorfa a un dominio conexo no simple en el plano complejo, pero es posible extenderla a una función holomorfa sobre una superficie íntimamente relacionada conocida como superficie de Riemann.

Las funciones analíticas u holomorfas están íntimamente ligadas a las ecuaciones en derivadas parciales de dos modos. Una función diferenciable del plano al plano es analítica si y solo si satisface un sistema de ecuaciones de primer orden llamado las ecuaciones de Cauchy Riemann. Por otro lado, la parte real e imaginaria de una función holomorfa tienen que ser funciones armónicas. Las ecuaciones de Cauchy Riemann son el prototipo de un sistema elíptico de primer orden^[1]​

Existe también una rica teoría en el caso de más de una dimensión compleja, donde las propiedades analíticas como las de expansión en series de potencias permanece aún cierta pero que sin embargo la mayoría de las propiedades geométricas de las funciones en una dimensión compleja (como la de transformación conforme) ya no lo son. El teorema de representación conforme de Riemann sobre las relaciones conformes de ciertos dominios en el plano complejo, que puede ser el resultado más importante en la teoría unidimensional, falla totalmente en dimensiones mayores.

Otra manera de entender las funciones holomorfas son como funciones del espacio euclideo dos dimensional en sí mismo cuya derivada es una matriz conforme, es decir es una dilatacíon compuesta con una isometria. Tales funciones existen también en dimensiones mayores pero otro teorema de Liouville demuestra que deben ser necesariamante transformaciones de Moebious, es decir composiciones de movimientos rígidos e inversiones respecto a esferas.^[2]​ En particular, si en dimensión dos el teorema de representación conforme de Riemann asegura que cualquier dominio simplemente conexo es la imagen mediante una transformación conforme del disco unidad, la rigidez proporcionada por este teorema de Liouville implica que en dimensiones mayores las imágenes de la bola unidad mediante transformaciones conformes son necesariamente bolas con otro centro y otro radio.

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