Extensión de cuerpos

En Álgebra, las extensiones de cuerpo son el problema fundamental de la Teoría de Cuerpos. Un cuerpo es un conjunto en el que las operaciones suma y producto están definidas y «funcionan bien». Cuando se construye una extensión de un cuerpo, se busca un conjunto más grande en el que las operaciones suma y producto sigan funcionando bien y además se puedan resolver las ecuaciones polinómicas.

Sea (K, +, ·) un cuerpo. Un cuerpo L es una extensión de K si K es un subcuerpo de L, es decir si (L,+,·) es un cuerpo y (K,+,·) es un cuerpo con la restricción a K de las operaciones + y · en L. Si L es extensión sobre K se denota L:K o L/K.

En efecto, La adición de K sirve también de adición en el espacio vectorial, y la multiplicación de un elemento de K por uno de L define el producto escalar del espacio vectorial:

Por definición de cuerpo, ${displaystyle (L,+)}$ es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares ${displaystyle cdot :K imes Llongrightarrow L}$ como una restricción a ${displaystyle K imes L}$ del producto en ${displaystyle cdot :L imes Llongrightarrow L}$. De esta forma es inmediato que se cumple que:

cualesquiera que sean ${displaystyle a,bin K}$ y ${displaystyle alpha ,eta in L}$. Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en ${displaystyle L}$ y a que ${displaystyle Ksubset L}$, la tercera se debe a que el producto es asociativo en ${displaystyle L}$, y la cuarta se debe a que ${displaystyle K}$ es subcuerpo de ${displaystyle L}$, por lo que el elemento unidad de ${displaystyle L}$ es el elemento unidad de ${displaystyle K}$.

El conjunto ${displaystyle K(alpha ):=left{{frac {f(alpha )}{g(alpha )}}:f,gin K[x],g(alpha ) eq 0 ight}}$. Este conjunto es un cuerpo, es extensión de ${displaystyle K}$, es subcuerpo de ${displaystyle L}$, y de hecho es la menor extensión de ${displaystyle K}$ que contiene a ${displaystyle alpha }$. Se le denomina extensión generada por α sobre ${displaystyle K}$.

Sea ${displaystyle K}$ un cuerpo y ${displaystyle pin K[x]}$ un polinomio irreducible, entonces existe alguna extensión ${displaystyle L:K}$ de manera que ${displaystyle p}$ tiene alguna raíz en ${displaystyle L}$.

La función ${displaystyle eta :K[x]longrightarrow K(alpha )}$ que a cada polinomio ${displaystyle p(x)in K[x]}$ le hace corresponder su evaluación en ${displaystyle alpha }$, i.e., ${displaystyle eta (p)=p(alpha )}$. Esta aplicación es de hecho un isomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina homomorfismo evaluación.

Una extensión ${displaystyle L:K}$ se dice que es algebraica si todo elemento ${displaystyle alpha in L}$ es algebraico sobre ${displaystyle K}$.

Supongamos que existe algún polinomio ${displaystyle pin K[x]}$ que tiene a ${displaystyle alpha }$ por raíz.

En esta situación (${displaystyle ker(eta ) eq {0}}$, o equivalentemente, existe algún ${displaystyle pin K[x]}$ irreducible con ${displaystyle {frac {K[x]}{(p)}}cong K(alpha )}$) se dice que ${displaystyle alpha }$ es algebraico sobre ${displaystyle K}$.

Un elemento es entonces algebraico sobre un cuerpo si y sólo si es raíz de algún polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.

Si ${displaystyle alpha }$ es un elemento algebraico sobre el cuerpo ${displaystyle K}$ de manera que ${displaystyle alpha otin K}$, el polinomio ${displaystyle p}$ que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e., ${displaystyle ker eta =(p)}$) es irreducible. Dividiendo ${displaystyle p}$ por su coeficiente principal (aquel escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable ${displaystyle x}$) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por ${displaystyle m_{alpha }^{K}}$ y se denomina polinomio mónico irreducible de ${displaystyle alpha }$ respecto de ${displaystyle K}$.

Claramente, ${displaystyle K(alpha )cong {frac {K[x]}{(m_{alpha }^{K})}}}$.

Una extensión ${displaystyle L:K}$ se dice que es trascendente si existe algún elemento ${displaystyle alpha in L}$ que sea trascendente sobre ${displaystyle K}$.

Si el ker${displaystyle (eta )={0}}$, será ${displaystyle eta }$ un monomorfismo. En ese caso, ${displaystyle K(x)}$ es isomorfo a ${displaystyle K(alpha )}$.

Se dirá que el elemento ${displaystyle alpha }$ es trascendente sobre ${displaystyle K}$ y que ${displaystyle K(alpha )}$ es una extensión trascendente sobre ${displaystyle K}$. Además, no existirá ningún polinomio con coeficientes en ${displaystyle K}$ que tenga por raíz a ${displaystyle alpha }$ (es decir, si ${displaystyle pin K[x]}$, entonces ${displaystyle p(alpha ) eq 0}$).

Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de ${displaystyle L}$ como espacio vectorial sobre ${displaystyle K}$, denotado por ${displaystyle operatorname {dim} _{K}(L)}$. Se denomina grado de la extensión ${displaystyle L:K}$ a la dimensión de ${displaystyle L}$ como ${displaystyle K}$-espacio vectorial: ${displaystyle [L:K]=operatorname {dim} _{K}(L)}$.

Tomemos varios ejemplos:

K = ${displaystyle mathbb {Q} }$ el cuerpo de los racionales y L = ${displaystyle mathbb {R} }$ el cuerpo de los reales; ${displaystyle mathbb {R} }$ visto como espacio vectorial sobre ${displaystyle mathbb {Q} }$, es de dimensión infinita, es decir, ${displaystyle [mathbb {R} :mathbb {Q} ]=infty }$.

El resultado no sorprende si se considera los cardinales de ambos conjuntos: Si la dimensión de ${displaystyle mathbb {R} }$ sobre ${displaystyle mathbb {Q} }$ fuese finita, ${displaystyle mathbb {R} }$ sería isomorfo a ${displaystyle mathbb {Q} ^{n},nin mathbb {N} }$, lo que no es posible porque ${displaystyle |mathbb {Q} ^{n}|=|mathbb {Q} |=|mathbb {N} |<|mathbb {R} |}$.

Si K = ${displaystyle mathbb {Q} }$, el cuerpo de los racionales y L = ${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2}})}$, el menor cuerpo que contiene a la vez ${displaystyle mathbb {Q} }$ y √2, claramente ${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2}})}$ es una extensión algebraica de ${displaystyle mathbb {Q} }$, ya que ${displaystyle {sqrt {2}}}$ es raíz del polinomio ${displaystyle x^{2}-2}$.

Al mismo tiempo:

${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2}})cong mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)}$

ya que el ideal ${displaystyle (x^{2}-2)}$ es el núcleo del morfismo ${displaystyle eta :mathbb {Q} [x]longrightarrow mathbb {Q} ({sqrt {2}})}$, claramente este es un morfismo suprayectivo, se sigue del primer teorema de isomorfismo que son campos isomorfos.

Además ${displaystyle [mathbb {Q} ({sqrt {2}}):mathbb {Q} ]=2}$, es decir, la dimensión de ${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2}})}$ como espacio vectorial sobre ${displaystyle mathbb {Q} }$ es 2, esto es así ya que 2 es el grado del polinomio mónico e irreducible que tiene a √2 como raíz: ${displaystyle x^{2}-2}$.

En general:

${displaystyle [mathbb {K} (alpha ):mathbb {K} ]=n}$ si ${displaystyle n}$ es el grado del polinomio mónico e irreducible en ${displaystyle mathbb {K} [x]}$ que tiene a ${displaystyle alpha }$ como raíz, donde ${displaystyle mathbb {K} }$ es un cuerpo y ${displaystyle mathbb {K} [x]}$ son los polinomios con coeficientes en ${displaystyle mathbb {K} }$.

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