Funciones generadoras

En matemáticas, una función generadora o función generatriz es una serie formal de potencias cuyos coeficientes codifican información sobre una sucesión a_n cuyo índice corre sobre los enteros no negativos.

Hay varios tipos de funciones generadoras: funciones generadoras ordinarias, funciones generadoras exponenciales, la serie de Lambert, la serie de Bell y la serie de Dirichlet; de las cuales abajo se ofrecen definiciones y ejemplos. Cada sucesión tiene una función generadora de cierto tipo. El tipo de función generadora que es apropiada en un contexto dado depende de la naturaleza de la sucesión y los detalles del problema que se analiza.

Las funciones generadoras son expresiones cerradas en un argumento formal x. A veces, una función generadora se «evalúa» en un valor específico x=a pero hay que tener en cuenta que las funciones generadoras son series formales de potencias, por lo que no se considera ni se analiza el problema de la convergencia en todos los valores de x.

Por lo mismo es importante observar que las funciones generadoras no son realmente funciones en el sentido usual de ser mapeos entre un dominio y un codominio; el nombre es únicamente el resultado del desarrollo histórico de su estudio.

La función generadora ordinaria de una sucesión (a_n) = a₀, a₁, a₂, a₃ ... se define como

${displaystyle A(x)=sum _{n=0}^{infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+cdots }$

Es común usar la expresión función generadora sin mayor calificativo, para referirse a este tipo de función.

${displaystyle f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1},quad n>0,qquad f_{0}=0,f_{1}=1}$

${displaystyle F(x)={frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

${displaystyle {frac {x}{1-x-x^{2}}}=0+1cdot x+1cdot x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+8x^{6}+13x^{7}+cdots }$.

Es posible definir funciones generadoras sobre varias variables. Por ejemplo, la función generadora ordinaria en 2 variables de (a_m,n) donde n y m son índices que recorren los enteros no negativos, es

${displaystyle A(x,y)=sum _{m,n=0}^{infty }a_{m,n}x^{m}y^{n}=a_{0,0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+a_{2,0}x^{2}+a_{1,1}xy+a_{0,2}y^{2}+a_{3,0}x^{3}+a_{2,1}x^{2}y+cdots }$

Si bien las funciones generadoras son una herramienta usada ampliamente en combinatoria, no existen métodos detallados que proporcionen solución a los problemas en cada situación. Sin embargo existen ideas generales que pueden ser modificadas y adaptadas en las diferentes situaciones que se presentan. A continuación se ilustran varios usos de las funciones generadoras junto con la idea general que se está usando.

En esta situación lo que se hace es multiplicar ambos lados de la recurrencia por xⁿ y sumar sobre todos los índices. Después se efectúan transformaciones para que la igualdad entre sumas que se obtiene se convierta en una ecuación que involucra la función generadora y se procede a resolverla.

Como ilustración, considere la recurrencia

${displaystyle a_{n+1}=3a_{n}+2,qquad a_{0}=1}$.

que da origen a la sucesión (a_n)=1,5,17,53,161,485,1457...

Multiplicando ambos lados por xⁿ y sumando sobre todos los valores de n se obtiene:

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n+1}x^{n}=a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}+a_{4}x^{3}+cdots =sum _{n=0}^{infty }(3a_{n}+2)x^{n}}$.

El lado izquierdo es casi la función generadora, pero los índices están desfasados. Pero notando que

${displaystyle a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}+a_{4}x^{3}+cdots ={frac {(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+cdots )-a_{0}}{x}}}$,

se deduce que el lado izquierdo es

${displaystyle {frac {A(x)-a_{0}}{x}}={frac {A(x)-1}{x}}}$.

El lado derecho se desarrolla como

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }(3a_{n}+2)x^{n}=3sum _{k=0}^{infty }a_{n}x^{n}+2sum _{k=0}^{infty }x^{n}=3A(x)+2(1+x+x^{2}+x^{3}+cdots )=3A(x)+{frac {2}{1-x}}}$.

Al final, se aplicó la fórmula para sumar una serie geométrica:^[2]​

${displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+cdots ={frac {1}{1-x}}}$.

Igualando ambas simplificaciones, se obtiene la ecuación

${displaystyle {frac {A(x)-1}{x}}=3A(x)+{frac {2}{1-x}},}$

que al resolverse arroja por resultado

${displaystyle A(x)={frac {x+1}{3x^{2}-4x+1}}.}$

Si c_n es el número de formas en que se puede pagar n pesos usando monedas de 1, 2 y 5 pesos, entonces la función generadora de la sucesión (c_n) es

${displaystyle C(x)={frac {1}{1-x}}cdot {frac {1}{1-x^{2}}}cdot {frac {1}{1-x^{5}}}=(1+x+x^{2}+x^{3}+cdots )(1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+cdots )(1+x^{5}+x^{10}+x^{15}+cdots )}$.

ya que el coeficiente de xⁿ es igual al número de formas de escoger a, b, c tales que

${displaystyle x^{n}=x^{a}x^{2b}x^{5c}=x^{a+2b+5c}, }$

y que corresponen a usar a monedas de 1 peso, b monedas de 2 pesos y c monedas de 5 pesos.

La aplicación de la fórmula de Taylor es demasiado compleja en este caso, por lo que aplicaremos el siguiente artificio debido a Ronald Graham.

Cada uno de los denominadores (1-x), (1-x²) y (1-x⁵) son divisores de (1-x¹⁰), por lo que podemos reescribir

${displaystyle C(x)={frac {A(x)}{(1-x^{10})^{3}}}}$

para un A(x) en donde:

${displaystyle {egin{array}{rcl}A(x)&=&A_{1}(x)cdot A_{2}(x)cdot A_{3}(x)=left({frac {1-x^{10}}{1-x}} ight)left({frac {1-x^{10}}{1-x^{2}}} ight)left({frac {1-x^{10}}{1-x^{5}}} ight)\ &=&x^{22}+x^{21}+2x^{20}+2x^{19}+3x^{18}+4x^{17}+5x^{16}+6x^{15}+7x^{14}+8x^{13}+7x^{12}+8x^{11}\ & &quad +7x^{10}+8x^{9}+7x^{8}+6x^{7}+5x^{6}+4x^{5}+3x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+1end{array}}}$

Finalmente, desarrollando la función generadora

${displaystyle {frac {1}{(1-x^{10})^{3}}}=sum _{kgeq 0}{2+k choose k}x^{10k}={2 choose 2}+{3 choose 2}x^{10}+{4 choose 2}x^{20}+{5 choose 2}x^{30}+cdots }$

obtenemos

${displaystyle C(x)=A(x)sum _{kgeq 0}{2+k choose k}x^{10k}}$.

De la expresión anterior se puede leer con detalle el valor exacto del coeficiente de xⁿ, es decir, el número c_n de formas de pagar n pesos con monedas de 1,2 y 5 pesos. Por ejemplo, el número de formas de pagar 77 pesos se obtiene calculando el término correspondiente a x⁷⁷:

${displaystyle (6x^{7})cdot {9 choose 2}x^{70}+(4x^{17})cdot {8 choose 2}x^{60}=left(6{9 choose 2}+4{8 choose 2} ight)x^{77}=(6cdot 36+4cdot 28)x^{77}=328x^{77}}$

y se concluye que hay 328 formas de pagar 77 pesos con monedas de 1, 2 o 5 pesos.

La función generadora exponencial de una sucesión a_n es

La función generadora de Poisson de una sucesión a_n es

La serie de Lambert de una sucesión a_n es

Nótese que en una serie de Lambert, el índice n comienza en el 1, no en 0.

La serie de Bell de una función aritmética f(n) y un número primo p es

Las series de Dirichlet a menudo se clasifican como funciones generadoras, aunque no son estrictamente series formales de potencias. La función generadora de la serie de Dirichlet de una sucesión a_n es

La función generadora de la serie de Dirichlet es especialmente útil cuando a_n es una función multiplicativa, cuando tiene una expresión de producto de Euler en términos de la serie de Bell de la función

Si a_n es un carácter de Dirichlet, entonces su función generadora de la serie de Dirichlet se llama serie L de Dirichlet.

El concepto de funciones generadoras puede extenderse a sucesiones de otros objetos. Así, por ejemplo, las sucesiones polinómicas de tipo binomial se generan por

donde p_n(x) es una sucesión de polinomios y f(t) es una función de cierta forma. Las sucesiones de Sheffer se generan de modo similar. Véase el artículo principal polinomio generalizado de Appell para más información.

Cuando se trabaja con funciones generadoras, es importante reconocer las expresiones de algunas sucesiones fundamentales.

La más fundamental de todas es la sucesión constante 1,1,1,1,..., cuya función generadora ordinaria es

La expresión de la derecha se puede justificar multiplicando la serie de potencias de la izquierda por ${displaystyle X-1}$, y comprobando que su resultado sea la serie constante de potencias 1; en otras palabras, que todos los coeficientes desaparezcan excepto el de X⁰. (Por lo demás, no puede haber otra serie de potencias con esta propiedad, ya que un anillo de series de potencias como Z[[X]] es un dominio de integridad.) El lado de la derecha, por lo tanto, designa la inversa de ${displaystyle X-1}$ en el anillo de series de potencias.

Fácilmente se derivan para ésta expresiones para la generación ordinaria de otras sucesiones. Por ejemplo, para la serie geométrica 1,a,a²,a³,... para cada constante a se tiene

y en particular

También se pueden introducir «brechas» regulares en la sucesión sustituyendo X por alguna potencia de X; así, por ejemplo, para la sucesión1,0,1,0,1,0,1,0,.... se obtiene la función generadora

Calculando el cuadrado de la función generadora inicial, fácilmente se ve que los coeficientes forman la sucesión 1,2,3,4,5,..., así que se tiene

y el cubo tiene como coeficientes los números triangulares 1,3,6,10,15,21,... cuyo término n es el coeficiente binomial ${displaystyle { binom {n+2}{2}}}$, de manera que

Dado que ${displaystyle { binom {n+2}{2}}={frac {1}{2}}{(n+1)(n+2)}={frac {1}{2}}(n^{2}+3n+2)}$, se puede encontrar la función generadora ordinaria para la sucesión 0,1,4,9,16,... de números cuadrados por combinación lineal de las sucesiones precedentes;

Las funciones generadoras se emplean para

Ejemplos de sucesiones polinómicas generadas por funciones generadoras más complejas son:

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