Grupo diedral

En matemáticas, un grupo diedral o grupo diédrico es el grupo de simetría de un polígono regular, incluyendo tanto rotaciones y reflexiones.^[1] Los grupos diedrales se encuentran entre los más simples ejemplos de grupos finitos, y juegan un rol importante en teoría de grupos, geometría, y química.

Existen dos notaciones para el grupo diedral asociado a un polígono con n lados. En geometría el grupo se denota D_n, mientras que en álgebra el mismo grupo se denota D_2n para indicar el número de elementos.

En este artículo, D_n se refiere a las simetrías de un polígono regular con n lados.

Un polígono regular con n lados tiene 2n simetrías diferentes: n simetrías rotacionales y n simetrías de reflexión. Las rotaciones y reflexiones asociadas forman el grupo diedral D_n. Si n es impar, cada eje de simetría conecta el punto medio de un lado al vértice opuesto. Si n es par, hay n/2 ejes de simetría conectando los puntos medios de lados opuestos y n/2 ejes de simetría conectando vértices opuestos. En cada caso, hay n ejes de simetría en conjunto y 2n elementos en el grupo de simetría. La reflexión en un eje de simetría seguida por la reflexión en otros ejes de simetría produce una rotación de dos veces el ángulo entre los ejes. La siguiente imagen muestra el efecto de los dieciséis elementos de D₈ en una señal de alto:

La primera fila muestra el efecto de las ocho rotaciones, y la segunda fila muestra el efecto de las ocho reflexiones.

Como con cualquier objeto geométrico, la composición de dos simetrías de un polígono regular es nuevamente una simetría. Esta operación brinda a las simetrías de un polígono la estructura algebraica de un grupo finito.

La siguiente tabla de Cayley muestra el efecto de composición en el grupo D₃ (las simetrías de un triángulo equilátero). R₀ denota la identidad; R₁ y R₂ denotan rotaciones en contra del sentido de las manecillas del reloj en 120 y 240 grados; y S₀, S₁, y S₂ denotan reflexiones a través de las tres líneas mostradas en la imagen a la derecha.

Por ejemplo, S₂S₁ = R₁ debido a que la reflexión S₁ seguida por la reflexión S₂ resulta en una rotación de 120 grados. (Éste es el orden normal hacia atrás para la composición.) Nótese que la operación de composición no es conmutativa.

En general, el grupo D_n tiene elementos R₀,...,R_n−1 y S₀,...,S_n−1, con composición dada por las siguientes fórmulas:

En todos los casos, la adición y sustracción de subíndices debería ser realizada utilizando aritmética modular con módulo n.

Si centramos un polígono regular en el origen de coordenadas, entonces los elementos del grupo diedral actúan como transformaciones lineales del plano. Esto nos permite representar elementos de D_n como matrices, siendo la composición una multiplicación de matrices. Esto es un ejemplo de una representación de grupo bidimensional.

Por ejemplo, los elementos del grupo D₄ pueden ser representados por las siguientes ocho matrices:

En general, las matrices para elementos de D_n tienen la forma siguiente:

R_k es una matriz de rotación, que expresa una rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj a través de un ángulo de 2πk ⁄n. S_k es una reflexión a lo largo de una línea que forma un ángulo de πk ⁄ n con el eje x.

Para n = 1 tenemos Dih₁. Esta notación es raramente utilizada excepto en el marco de las series, porque es igual a Z₂. Para n = 2 tenemos Dih₂, el grupo de Klein. Ambos son excepcionales dentro de la serie:

Los grafos ciclos de grupos diedrales consisten en un ciclo de n-elementos y ciclos de n 2-elementos. El vértice oscuro en los grafos ciclos debajo de varios grupos diedrales permanece para el elemento identidad, y los otros vértices son los otros elementos del grupo. Un ciclo consiste de potencias sucesivas de cada uno de los elementos conectados al elemento identidad.

Un ejemplo de grupo abstracto Dih_n, y una forma común para visualizarlo, es el grupo D_n de isometría Euclídeas planas que mantienen fijo el origen. Estos grupos forman una de las dos series de grupos puntuales en dos dimensiones discretos. D_n consiste de n rotaciones de múltiplos de 360°/n respecto al origen, y reflexiones a lo largo de n líneas a través del origen, formando ángulos de múltiplos de 180°/n entre sí. Ésta es la simetría de grupo de un polígono regular con n caras (para n ≥3, y también para el caso degenerado n = 2, donde tenemos un segmento de línea en el plano).

El grupo diedral D_n es generado por una rotación r de orden n y una reflexión s de orden 2 tal que:

(en términos geométricos: en el espejo una rotación luce como una rotación inversa).

En forma matricial, una rotación en sentido anti-horario y una reflexión en el eje x están dadas por:

(en términos de números complejos: multiplicación por ${displaystyle e^{2pi i over n}}$ y conjugación compleja).

Haciendo que

y definiendo ${displaystyle r_{j}=r_{1}^{j}}$ and ${displaystyle s_{j}=r_{j},s_{0}}$ for ${displaystyle jin {1,ldots ,n-1}}$ podemos escribir las reglas de producto para D_n como:

El grupo diedral D₂ es generado por la rotación r de 180 grados, y la reflexión s a través del eje x. Los elementos de D₂ pueden entonces ser representados como {e, r, s, rs}, donde e es la identidad o transformación nula y rs es la reflexión a través del eje y.

D₂ es isomorfo al grupo de Klein.

Si el orden de D_n es mayor que 4, las operaciones de rotación y reflexión en general no conmutan y D_n no es abeliano; por ejemplo, en D₄, una rotación de 90 grados seguida por una reflexión dan un resultado diferente de una reflexión seguida por una rotación de 90 grados:

Así, más allá de su aplicación obvia a problemas de simetría en el plano, estos grupos están entre los ejemplos más simples de grupos no-abelianos, y como tal, surgen con frecuencia como contraejemplos sencillos a teoremas que están restringidos a grupos abelianos.

Los elementos 2n de D_n pueden ser escritos como e, r, r², ..., rⁿ⁻¹, s, r s, r² s, ..., rⁿ⁻¹ s. Los primeros elementos listados n son rotaciones y el resto de elementos n son reflexiones axiales (todas ellas tienen orden 2). El producto de dos rotaciones o dos reflexiones es una rotación; el producto de una rotación y una reflexión es una reflexión.

Hasta ahora, hemos considerado que D_n sea un subgrupo de O(2), por ejemplo el grupo de rotaciones (respecto al origen) y reflexiones (a lo largo de ejes a través del origen) del plano. Sin embargo, la notación D_n es usada también para un subgrupo de SO(3) que es también un grupo abstracto de tipo Dih_n: el grupo de simetría apropiado para un polígono regular incrustado en en el espacio tridimensional (si n ≥ 3). Tal figura puede ser considerada como un sólido regular degenerado con su cara contada dos veces. Por tanto, es llamada también diedro (en griego: sólido con dos caras), que explica el nombre de grupo diedral o diédrico (en analogía con grupo tetraédrico, octaédrico e icosaédrico, refiriéndose a los grupos de simetría de un tetraedro, octaedro, e icosaedro regulares respectivamente).

simetría 2D D₆ – Estrella roja de David.

simetría 2D D₂₄ – Chakra Ashoka, como se representa en la Bandera de la India.

Existen definiciones adicionales equivalentes de Dih_n, el cual puede ser:

${displaystyle mathbb {Z} _{n} times _{varphi }mathbb {Z} _{2}}$ es isomorfo a ${displaystyle D_{n}}$ si ${displaystyle varphi (0)}$ es la identidad y ${displaystyle varphi (1)}$ es la inversión.

Si consideramos ${displaystyle D_{n}}$ (n ≥ 3) como el grupo de simetría de un polígono regular de n lados y vértices, vemos que ${displaystyle D_{n}}$ es un subgrupo de la simetría de grupo S_n por medio de esta representación de permutación.

Las propiedades de los grupos diedrales ${displaystyle D_{n}}$ con n ≥ 3 dependen de si n es par o impar. Por ejemplo, el centro de ${displaystyle D_{n}}$ consiste solamente de la identidad si n es impar, pero si n es par, el centro tiene dos elementos, nominalmente la identidad y el elemento r^n / 2 (con ${displaystyle D_{n}}$ como un subgrupo de O(2), esto es inversión; debido a que es una multiplicación escalar por −1, es claro que conmuta con cualquier transformación lineal).

Para n impar, el grupo abstracto ${displaystyle D_{2n}}$ es isomorfo con el producto directo de ${displaystyle D_{n}}$ y Z₂.

En el caso de isometrías 2D, esto corresponde a adicionar inversión, dando rotaciones y espejos en medio de los existentes.

Si m es divisor de n, entonces ${displaystyle D_{n}}$ tiene n / m subgrupos de tipo ${displaystyle D_{n}}$ , y un subgrupo Z_m. Por tanto, el número total de subgrupos de ${displaystyle D_{n}}$ (n ≥ 1), es igual a d(n) + σ(n), donde d(n) es el número de divisores positivos de n y σ(n) es la suma de los divisores positivos de n.

Todas las reflexiones son conjugadas a cada una de ellas en el caso de n impar, pero caen en dos clases de conjugación si n es par. Si pensamos en las isometrías de un polígono regular de n lados: para n impar hay rotaciones en el grupo entre cada par de espejos, mientras que para n par solamente la mitad de los espejos pueden ser alcanzados desde alguna de estas rotaciones. Geométricamente, en un polígono impar cada eje de simetría pasa a través de un vértice y una cara, mientras que en un polígono par la mitad de los ejes pasan a través de dos vértices, y la mitad pasa a través de dos caras.

Algebráicamente, esto es un ejemplo del Teorema de Sylow conjugado (para n impar): para n impar, cada reflexión, junto con la identidad, forman un subgrupo de orden 2, que es un subgrupo de Sylow ( ${displaystyle 2=2^{1}}$ es la potencia máxima de 2 que divide a ${displaystyle 2n=2(2k+1)}$ ), mientras que para n par, estos subgrupos de orden 2 no son subgrupos de Sylow debido a que 4 (una potencia más alta de 2) divide el orden del grupo.

Para n par existe en cambio un automorfismo externo que intercambia los dos tipos de reflexiones (propiamente, una clase de automorfismo externo, que están todos conjugados por un automorfismo interno).

El grupo de automorfismo de ${displaystyle D_{n}}$ es isomorfo al grupo afín Aff(Z/nZ) ${displaystyle ={ax+bmid (a,n)=1}}$ y tiene orden ${displaystyle nphi (n),}$ donde ${displaystyle phi }$ es la función φ de Euler, el número de k en ${displaystyle 1,dots ,n-1}$ es primo con n.

Puede ser entendido en términos de los generadores de una reflexión y una rotación elemental (rotación por ${displaystyle k(2pi /n)}$ , para k primo a n); cuyos automorfismos son internos y externos dependiendo de la paridad de n:

Dih₉ tiene 18 automorfismos internos. como grupo de isometría 2D D₉, el grupo tiene espejos a intervalos de 20°. Los 18 automorfismos internos proveen rotación a los espejos por múltiplos de 20°, y reflexiones. Como grupo isométrico, todos éstos son automorfismos. Como grupo abstracto hay, además a éstos, 36 automorfismos externos, por ejemplo multiplicando los ángulos de rotación por 2.

Dih₁₀ tiene 10 automorfismos internos. Como grupo de isometría 2D D₁₀, el grupo tiene espejos a intervalos de 18°. Los 10 automorfismos internos proveen rotación de los espejos por múltiplos de 36°, y reflexiones. Como grupo de isometría hay 10 automorfismos más; hay conjugados por isometrías fuera del grupo, rotando los espejos 18° con respecto a los automorfismos internos. Como grupo abstracto hay, además de estos 10 automorfismos internos y 10 automorfismos externos, otros 20 automorfismos externos adicionales, por ejemplo multiplicando las rotaciones por 3.

Comparando los valores 6 y 4 para la función φ de Euler, el grupo multiplicativo de enteros módulo n para n = 9 y 10, respectivamente, esto triplica y duplica el número de automorfismo comparado con los dos automorfismos como isometrías (manteniendo igual el orden de las rotaciones o invirtiendo el orden).

Hay varias generalizaciones importantes de los grupos diedrales: