Producto semidirecto

En la rama matemática de la teoría de grupos, se denomina producto semidirecto de dos grupos a un tercer grupo que extiende los dos primeros bajo ciertas condiciones adicionales. El producto semidirecto de dos grupos se denota con el símbolo ${displaystyle times }$. Este producto no es único, pues depende de la elección de cierta función ${displaystyle varphi }$, por lo que en ocasiones se hace necesario usar el símbolo ${displaystyle times _{varphi }}$ para evitar ambigüedades.

El producto semidirecto de dos grupos se caracteriza por tener dos copias isomorfas a los grupos de partida como subgrupos, los cuales además tienen intersección trivial. Además el primero de ellos es un subgrupo normal, lo cual no es en general cierto para el segundo; el orden de los dos grupos factores importa en el producto semidirecto.

Sean ${displaystyle H}$ y ${displaystyle K}$ dos grupos cualesquiera, y sea ${displaystyle varphi :K o Aut H}$ un homomorfismo de grupos. Este homomorfismo caracteriza una acción del grupo ${displaystyle K}$ sobre el grupo ${displaystyle H}$, que viene dada por ${displaystyle k h=varphi (k)(h)}$. Se denomina producto semidirecto de ${displaystyle H}$ y ${displaystyle K}$ respecto de ${displaystyle varphi }$, y se denota ${displaystyle H times _{varphi }K}$, al grupo formado por todos los pares

bajo la operación definida por

El producto semidirecto tiene las siguientes propiedades:^[1]​

El producto directo de grupos es un caso particular del producto semidirecto. Se da precisamente cuando el homomorfismo ${displaystyle varphi :K o Aut H}$ es trivial, es decir, cuando todo elemento ${displaystyle kin K}$ tiene por imagen la identidad de ${displaystyle Aut H}$ (que es la función identidad de ${displaystyle H}$). En tal caso y solo en tal caso ${displaystyle k h=h}$ para todo par de elementos ${displaystyle (h,k)}$. Además, el subgrupo ${displaystyle { ilde {K}}}$ es también normal en el producto directo. El recíproco también es cierto, es decir, si ambos ${displaystyle { ilde {H}}}$ y ${displaystyle { ilde {K}}}$ son normales en el producto entonces es un producto directo.^[1]​

Dado un grupo ${displaystyle G}$ que contiene un subgrupo normal ${displaystyle N}$, cabe preguntarse si ${displaystyle G}$ puede formarse como producto semidirecto de ${displaystyle N}$ con otro grupo o, más formalmente, si ${displaystyle G}$ es isomorfo a un producto semidirecto ${displaystyle N times _{varphi }Q}$, para cierto grupo ${displaystyle Q}$ y un homomorfismo ${displaystyle varphi :Q o Aut N}$.

Considérese un subgrupo ${displaystyle H}$ (no necesariamente normal) de un grupo ${displaystyle G}$. Se dice que un subgrupo ${displaystyle Ksubseteq G}$ es un complemento de ${displaystyle H}$ si se cumple cualquiera de las dos condiciones equivalentes:

Sea ahora un subgrupo normal ${displaystyle N riangleleft G}$; se dice que ${displaystyle G}$ es un producto semidirecto de ${displaystyle N}$ y ${displaystyle Q}$, escrito como ${displaystyle G=N times Q,}$ si ${displaystyle N}$ tiene un complemento ${displaystyle Q'simeq Q}$ en ${displaystyle G}$. En tal caso se dice que G se parte sobre N o que G se descompone sobre N.^[2]​

No todo subgrupo normal tiene complemento, y si lo tiene, no tiene por qué ser necesariamente único. No obstante, todos los complementos de un subgrupo normal ${displaystyle N}$ (cuando existen) son isomorfos entre sí, puesto que por los teoremas de isomorfía:

Dado un subgrupo normal ${displaystyle N riangleleft G}$, las siguientes proposiciones son equivalentes:^[3]​

Estas condiciones son útiles para determinar si un grupo es el producto semidirecto de dos de sus subgrupos. En cambio, la definición formal permite construir un producto semidirecto de dos grupos arbitrarios, no necesariamente subgrupos de un grupo común.

${displaystyle GL_{n}(mathbb {F} )=SL_{n}(mathbb {F} ) times mathbb {F} ^{ imes }}$

Se puede obtener una presentación del producto semidirecto a partir de las presentaciones de los grupos factores. Sean dos grupo ${displaystyle G}$ y ${displaystyle K}$, y un homomorfismo ${displaystyle varphi :K o Aut G}$. Si las respectivas presentaciones de los grupos son ${displaystyle G=langle X|R angle }$ y ${displaystyle K=langle Y|S angle }$, donde ${displaystyle X}$ e ${displaystyle Y}$ son los conjuntos de generadores (disjuntos), y ${displaystyle R}$ y ${displaystyle S}$ son los conjuntos de relaciones, una presentación para el producto semidirecto ${displaystyle G times _{varphi }K}$ tiene la forma:

donde el conjunto adicional de relaciones ${displaystyle T}$ está formado por las identidades

En el caso particular del producto directo, los homomorfismos ${displaystyle varphi _{y}}$ son todos la identidad, luego las relaciones adicionales son de la forma

donde el símbolo ${displaystyle [y,x]}$ es el conmutador de x e y. En consecuencia, los generadores de un grupo conmutan con los generadores del otro.

Dado un grupo ${displaystyle G}$, existe una extensión natural dada en forma de producto semidirecto. Puesto que el producto es con un grupo factor ${displaystyle K}$ sobre el que se define un homomorfismo ${displaystyle K o Aut G}$, resulta natural tomar ${displaystyle K=Aut G}$ con el homomorfismo identidad. Se define el holomorfo de ${displaystyle G}$, denotado Hol(G), como el producto semidirecto^[6]​

El grupo de automorfismos de ${displaystyle G}$ es un subgrupo del grupo simétrico de ${displaystyle G}$, que contiene todas las biyecciones. En concreto, es posible identificar un subgrupo de este con el propio ${displaystyle G}$, dado por la identificación con las funciones de multiplicación por la izquierda

Entonces, considerados ambos como subgrupos, se tiene que ${displaystyle G^{l}cap Aut(G)=1}$, y que ${displaystyle Hol(G)=G^{l}Aut(G)}$ (el producto de subconjuntos).^[7]​

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