Teoría de cuerpos de clases

En matemáticas, la teoría de cuerpos de clases es una rama esencial de la teoría de números algebraicos que tiene por objeto la clasificación de las extensiones abelianas, o ya sea, las galoisianas y grupos de Galois comutativos, de un cuerpo dado. Más precisamente, trata la manera de describir y construir estas extensiones en términos de propiedades aritméticas del propio cuerpo básico.

Tradicionalmente comprendía el estudio de las extensiones abelianas, es decir, de las extensiones de Galois cuyo grupo de Galois es abeliano, para este caso la teoría se desarrolló durante 1850-1930. En el caso de las extensiones no abelianas, los primeros resultados importantes empezaron a obtenerse hace 25 años y forman parte del programa de Langlands.

Gran parte de la investigación en el caso abeliano se centra en el famoso Jugendtraum de Kronecker, es decir, el deseo de encontrar funciones capaces de generar la extensión abeliana maximal para cada cuerpo numérico. (Si el campo es Q, las funciones generadoras son las funciones ciclotómicas exp(iσ).)

Sea K un cuerpo numérico. El grupo de Galois de la extensión abeliana maximal es un grupo topológico compacto abeliano de grado infinito sobre K. Kronecker demostró que, cuando K es el cuerpo de los números racionales, este grupo es un producto infinito del grupo aditivo de los enteros p-ádicos tomado sobre todo número primo p, y de un producto infinito de grupos cíclicos finitos. La generalización de este teorema fue resultado de un gran proyecto histórico que incluyó a las formas cuadráticas y su teoría de género, las leyes de reciprocidad, la teoría de ideales, extensiones ciclotómicas y de Kummer.

Iniciando con la tesis de Tate en los años cincuenta, todos los resultados fueron reescritos en términos de la cohomología de grupos. Después hubo un periodo de quiescencia que fue bruscamente interrumpido en los sesentas por las conjeturas de Langlands.