Momento angular orbital

El momento angular o momento cinético es una magnitud física, equivalente rotacional del momento lineal y representa la cantidad de movimiento de rotación de un objeto. Es una cantidad vectorial que caracteriza las propiedades de inercia de un cuerpo, que gira en relación con cierto punto. Se encuentra en las tres mecánicas (mecánica clásica, cuántica y relativista). En el Sistema Internacional de Unidades el momento angular se mide en kg·m²/s. Esta magnitud desempeña respecto a las rotaciones un papel análogo al momento lineal en las traslaciones.

El nombre tradicional en español es momento cinético;^[1]​ momento angular es de uso común por la influencia del inglés angular momentum.

Bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas es una magnitud física que se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema va cambiando, lo cual da lugar a la llamada ley de conservación del momento angular. El momento angular para un cuerpo rígido que rota respecto a un eje es la resistencia que ofrece dicho cuerpo a la variación de la velocidad angular. Sin embargo, eso no implica que sea una magnitud exclusiva de las rotaciones; por ejemplo, el momento angular de una partícula que se mueve libremente con velocidad constante (en módulo y dirección) también se conserva.

En mecánica newtoniana, el momento angular de una partícula o masa puntual con respecto a un punto O del espacio se define como el momento de su cantidad de movimiento ${displaystyle mathbf {p} }$ con respecto a ese punto. Normalmente se designa mediante el símbolo ${displaystyle mathbf {L} }$. Siendo ${displaystyle mathbf {r} }$ el vector que une el punto O con la posición de la masa puntual (también conocido como el radio de la trayectoria), será:

${displaystyle mathbf {L} =mathbf {r} imes mathbf {p} =mathbf {r} imes mmathbf {v} }$

El vector ${displaystyle mathbf {L} ,}$ es perpendicular al plano que contiene ${displaystyle mathbf {r} ,}$ y ${displaystyle mathbf {v} ,}$, en la dirección indicada por la regla del producto vectorial o regla de la mano derecha y su módulo o intensidad es:

${displaystyle lVert mathbf {L} Vert =mrvsin heta =p,rsin heta =p,b_{p}}$

esto es, el producto del módulo del momento lineal por su brazo (${displaystyle b_{p},}$ en el dibujo), definido este como la distancia del punto respecto al que se toma el momento a la recta que contiene la velocidad de la partícula.

Derivemos el momento angular con respecto al tiempo:

${displaystyle {dmathbf {L} over dt}={d over dt}(mathbf {r} imes mathbf {p} )=left({dmathbf {r} over dt} imes mathbf {p} ight)+left(mathbf {r} imes {dmathbf {p} over dt} ight)}$

El primero de los paréntesis es cero ya que la derivada de ${displaystyle mathbf {r} ,}$ con respecto al tiempo no es otra cosa que la velocidad ${displaystyle mathbf {v} ,}$ y, como el vector velocidad es paralelo al vector cantidad de movimiento ${displaystyle mathbf {p} ,}$, el producto vectorial es cero. En cuanto al segundo paréntesis, tenemos:

${displaystyle {dmathbf {L} over dt}=mathbf {r} imes {dmathbf {p} over dt}=mathbf {r} imes {d over dt}left(mmathbf {v} ight)=mathbf {r} imes (mmathbf {a} )}$

donde ${displaystyle scriptstyle {mathbf {a} }}$ es la aceleración de la partícula, de modo que ${displaystyle mmathbf {a} =mathbf {F} ,}$, es la fuerza que actúa sobre ella. Puesto que el producto vectorial de ${displaystyle mathbf {r} ,}$ por la fuerza es el momento o momento dinámico aplicado a la masa, tenemos:

${displaystyle {dmathbf {L} over dt}=mathbf {r} imes mathbf {F} =mathbf {M} }$

Así, la derivada temporal del momento angular es igual al momento dinámico que actúa sobre la partícula. Hay que destacar que en esta expresión ambos momentos, ${displaystyle mathbf {L} ,}$ y ${displaystyle mathbf {M} ,}$ deberán estar referidos al mismo punto O.

El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

${displaystyle mathbf {L} =sum _{k}{vec {r}}_{k} imes {vec {p}}_{k}=sum mathbf {L} _{i},}$

La variación temporal es:

${displaystyle {dmathbf {L} over dt}=sum {dmathbf {L} _{i} over dt}=sum mathbf {M} _{i},}$

El término de derecha es la suma de todos los momentos producidos por todas las fuerzas que actúan sobre las partículas. Una parte de esas fuerzas puede ser de origen externo al conjunto de partículas. Otra parte puede ser fuerzas entre partículas. Pero cada fuerza entre partículas tiene su reacción que es igual pero de dirección opuesta y colineal. Eso quiere decir que los momentos producidos por cada una de las fuerzas de un par acción-reacción son iguales y de signo contrario y que su suma se anula. Es decir, la suma de todos los momentos de origen interno es cero y no puede hacer cambiar el valor del momento angular del conjunto. Solo quedan los momentos externos:

El momento angular de un sistema de partículas se conserva en ausencia de momentos externos. Esta afirmación es válida para cualquier conjunto de partículas: desde núcleos atómicos hasta grupos de galaxias.

Tenemos que en un sistema inercial la ecuación de movimiento es:

Donde:

Ahora bien, normalmente para un sólido rígido el tensor de inercia ${displaystyle mathbf {I} }$, depende del tiempo y por tanto en el sistema inercial generalmente no existe un análogo de la segunda ley de Newton, y a menos que el cuerpo gire alrededor de uno de los ejes principales de inercia sucede que:

Donde ${displaystyle scriptstyle {mathbf {alpha } }}$ es la aceleración angular del cuerpo. Por eso resulta más útil plantear las ecuaciones de movimiento en un sistema no inercial formado por los ejes principales de inercia del sólido, así se logra que ${displaystyle mathbf {I} ={mbox{cte.}}}$, aunque entonces es necesario contar con las fuerzas de inercia:

Que resulta ser una ecuación no lineal en la velocidad angular.

Cuando la suma de los momentos externos es cero ${displaystyle scriptstyle {mathbf {M} =0}}$, hemos visto que:

Eso quiere decir que ${displaystyle scriptstyle {mathbf {L} =mathrm {constante} }}$. Y como ${displaystyle scriptstyle {mathbf {L} }}$ es un vector, es constante tanto en módulo como en dirección.

Consideremos un objeto que puede cambiar de forma. En una de esas formas, su Momento de inercia es ${displaystyle scriptstyle {I_{1}}}$ y su velocidad angular ${displaystyle scriptstyle {mathbf {omega } _{1}}}$. Si el objeto cambia de forma (sin intervención de un momento externo) y que la nueva distribución de masas hace que su nuevo Momento de inercia sea ${displaystyle scriptstyle {I_{2}}}$, su velocidad angular cambiará de manera tal que:

En algunos casos el momento de inercia se puede considerar un escalar. Entonces la dirección del vector velocidad angular no cambiará. Solo cambiará la velocidad de rotación.

Hay muchos fenómenos en los cuales la conservación del momento angular tiene mucha importancia. Por ejemplo:

En el dibujo de la derecha tenemos una masa que gira, tenida por un hilo de masa despreciable que pasa por un tubito fino. Suponemos el conjunto sin rozamientos y no tenemos en cuenta la gravedad.

La fuerza que el hilo ejerce sobre la masa es radial y no puede ejercer un momento sobre la masa. Si tiramos del hilo, el radio de giro disminuirá. Como, en ausencia de momentos externos, el momento angular se conserva, la velocidad de rotación de la masa debe aumentar.

En el dibujo siguiente aparece la masa que gira con un radio ${displaystyle scriptstyle {R_{1}}}$ en el momento en el cual se da un tirón del hilo. El término correcto del "tirón" física es un impulso, es decir una fuerza aplicada durante un instante de tiempo. Ese impulso comunica una velocidad radial ${displaystyle scriptstyle {Delta V}}$ a la masa. La nueva velocidad será la suma vectorial de la velocidad precedente ${displaystyle scriptstyle {V}}$ con ${displaystyle scriptstyle {Delta V}}$. La dirección de esa nueva velocidad no es tangencial, sino entrante. Cuando la masa pasa por el punto más próximo del centro, a una distancia ${displaystyle scriptstyle {R_{2}}}$, cobramos el hilo suelto y la masa continuará a girar con el nuevo radio ${displaystyle scriptstyle {R_{2}}}$. En el dibujo, el triángulo amarillo y el triángulo rosado son semejantes. Lo cual nos permite escribir:

o sea:

Y, si multiplicamos por la masa ${displaystyle scriptstyle {m}}$, obtenemos que el momento angular se ha conservado, como lo esperábamos:

Vemos como el momento angular se ha conservado: Para reducir el radio de giro hay que comunicar una velocidad radial, la cual aumenta la velocidad total de la masa.

También se puede hacer el experimento en el otro sentido. Si se suelta el hilo, la masa sigue la tangente de la trayectoria y su momento angular no cambia. A un cierto momento frenamos el hilo para que el radio sea constante de nuevo. El hecho de frenar el hilo, comunica una velocidad radial (hacia el centro) a la masa. Esta vez esta velocidad radial disminuye la velocidad total y solo queda la componente de la velocidad tangencial al hilo en la posición en la cual se lo frenó.

No es necesario hacer la experiencia dando un tirón. Se puede hacer de manera continua, ya que la fuerza que se hace recobrando y soltando hilo puede descomponerse en una sucesión de pequeños impulsos.

En mecánica newtoniana el momento angular es un pseudovector o vector axial, por lo que en mecánica relativista debe ser tratado como el dual de Hodge de las componentes espaciales de un tensor antisimétrico. Una representación del momento angular en la teoría especial de la relatividad es por tanto como cuadritensor antisimétrico:

${displaystyle mathbf {L} ={egin{pmatrix}0&ctp_{x}-Ex/c&ctp_{y}-Ey/c&ctp_{z}-Ez/c\Ex/c-ctp_{x}&0&xp_{y}-yp_{x}&xp_{z}-zp_{x}\Ey/c-ctp_{y}&yp_{x}-xp_{y}&0&yp_{z}-yp_{z}\Ez/c-ctp_{z}&zp_{x}-xp_{z}&zp_{y}-yp_{z}&0end{pmatrix}}={egin{pmatrix}0&r_{x}&r_{y}&r_{z}\-r_{x}&0&L_{z}&-L_{y}\-r_{y}&-L_{z}&0&L_{x}\-r_{z}&L_{y}&-L_{x}&0end{pmatrix}}}$

Puede verse que los 3 componentes espaciales forman el momento angular de la mecánica newtoniana ${displaystyle mathbf {L} =(L_{x},L_{y},L_{z})}$ y el resto de componentes ${displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z}),}$ describen el movimiento del centro de masas relativista.

En mecánica cuántica el momento angular es un conjunto de tres operadores para los cuales existe un conjunto de estados linealmentemente independientes ${displaystyle |alpha ,eta angle }$ que satisface:

${displaystyle {hat {mathbf {A} }}^{2}|alpha ,eta angle ={hbar }^{2}alpha (alpha +1)|alpha ,eta angle qquad ;qquad {hat {A}}_{3}|alpha ,eta angle =hbar eta |alpha ,eta angle }$

Y que además satisfacen las siguientes relaciones de conmutación canónicas:

${displaystyle [{hat {A}}_{i},{hat {A}}_{j}]=ihbar epsilon _{ijk}{hat {A}}_{k},qquad left[{hat {A}}_{i},{hat {mathbf {A} }}^{2} ight]=0}$

donde

Estas relaciones de conmutación garantizan que dichos operadores constituyen una representación del álgebra de Lie su(2) (que está relacionada, con el grupo recubridor universal del grupo de rotaciones tridimensional).

Por ejemplo el momento angular orbital ${displaystyle mathbf {L} }$, el espín ${displaystyle mathbf {S} }$ (o momento angular intrínseco), el isospín ${displaystyle mathbf {I} }$, el momento angular total ${displaystyle mathbf {J} }$, etc.

El momento angular orbital, tal como el que tiene un sistema de dos partículas que gira una alrededor de la otra, se puede transformar a un operador ${displaystyle {hat {L}}}$ mediante su expresión clásica:

${displaystyle mathbf {hat {L}} =-ihbar left(mathbf {r} imes {oldsymbol { abla }} ight)}$

siendo ${displaystyle mathbf {r} }$ la distancia que las separa.

Usando coordenadas cartesianas las tres componentes del momento angular se expresan en el espacio de Hilbert usual para las funciones de onda, ${displaystyle L^{2}(mathbb {R} ^{3})}$, como:

${displaystyle {hat {L}}_{x}=-ihbar left(y{frac {partial }{partial z}}-z{frac {partial }{partial y}} ight)qquad {hat {L}}_{y}=-ihbar left(z{frac {partial }{partial x}}-x{frac {partial }{partial z}} ight)qquad {hat {L}}_{z}=-ihbar left(x{frac {partial }{partial y}}-y{frac {partial }{partial x}} ight)}$

En cambio en coordenadas angulares esféricas el cuadrado del momento angular y la componente Z se expresan como:

${displaystyle {hat {L}}^{2}=-hbar ^{2}left[{frac {1}{sin heta }}{frac {partial }{partial heta }}left(sin heta {frac {partial }{partial heta }} ight)+{frac {1}{sin ^{2} heta }}{frac {partial ^{2}}{partial varphi ^{2}}} ight]qquad {hat {L}}_{z}=-ihbar left({frac {partial }{partial varphi }} ight)}$

Los vectores propios o estados propios del momento angular orbital dependen de dos números cuánticos enteros ${displaystyle l}$ y ${displaystyle m}$, se designan como ${displaystyle |l,m angle }$ y satisfacen las relaciones:

${displaystyle {hat {L}}^{2}|l,m angle ={hbar }^{2}l(l+1)|l,m angle qquad {hat {L}}_{z}|l,m angle =hbar m|l,m angle }$

Estos vectores propios expresados en términos de las coordenadas angulares esféricas son los llamados armónicos esféricos Y_{l, m}(θ,φ), que se construyen a partir de los polinomios de Legendre:

${displaystyle langle heta ,phi |l,m angle =Y_{l,m}( heta ,varphi )qquad Y_{l,m}( heta ,varphi )=N,e^{imvarphi },P_{l}^{m}(cos { heta })}$

Tienen especial importancia por ser la componente angular de los orbitales atómicos.

Es importante notar que si el hamiltoniano no depende de las variables angulares, como sucede por ejemplo en problemas con potencial de simetría esférica entonces todas las componentes del momento angular conmutan con el hamiltoniano:

${displaystyle left[{hat {L}}_{i},H ight]=0}$

y, como consecuencia, el cuadrado del momento angular también conmuta con el Hamiltoniano:

${displaystyle left[{hat {L}}^{2},H ight]=0}$.

Y tenemos que el momento angular se conserva, eso significa que a lo largo de la evolución en el tiempo del sistema cuántico la distribución de probabilidad de los valores del momento angular no variará. Nótese sin embargo que como las componentes del momento angular no conmutan entre sí no se pueden definir simultáneamente. Sin embargo, sí se pueden definir simultáneamente el cuadrado del momento angular y una de sus componentes (habitualmente se elige la componente Z). En particular si tenemos estados cuánticos de momento bien definido estos seguirán siendo estados cuánticos de momento bien definido con los mismos valores de los números cuánticos ${displaystyle l}$ y ${displaystyle m}$.

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