Números cardinales

El cardinal indica el número o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. Los números cardinales constituyen una generalización interesante del concepto de número natural, permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinitos. Dado un conjunto ${displaystyle A,}$, el cardinal de este conjunto se simboliza mediante ${displaystyle |A|,}$, ${displaystyle {mbox{n}}(A),}$, ${displaystyle {mbox{card}}(A),}$o ${displaystyle #A}$. Por ejemplo, si A tiene 3 elementos, el cardinal se indica así: |A| = 3.

El concepto de número cardinal fue desarrollado y propuesto por Georg Cantor, en 1874, quien lo amplió a conjuntos infinitos, ya que para conjuntos finitos el concepto de cardinal es trivial.

Primero estableció el concepto de cardinalidad como una herramienta para comparar conjuntos finitos. Por ejemplo, los conjuntos {1,2,3} y {2,3,4} son distintos, pero ambos tienen cardinalidad 3.

Cantor definió el conteo usando la correspondencia biunívoca, la cual mostraba fácilmente que dos conjuntos finitos tenían la misma cardinalidad si había una relación biyectiva entre sus elementos. Esta correspondencia uno a uno le sirvió para crear un concepto de conjunto infinito, el cual posee todos sus elementos relacionados de forma biyectiva con el conjunto de números naturales (${displaystyle mathbb {N} }$ = {1, 2, 3, ...}).

Nombró el cardinal de ${displaystyle mathbb {N} }$: ${displaystyle aleph _{0}}$. Incluso probó que varios conjuntos infinitos formados por naturales (como los pares) tienen cardinalidad ${displaystyle aleph _{0}}$, debido a que era posible establecer la relación biunívoca con ${displaystyle mathbb {N} }$.

Los conjuntos pueden ser divididos en clases de equivalencia definidas en función de la relación de equivalencia que incluye a un par de conjuntos si y solo si entre estos existe una biyección.Cardinalidad de un conjunto sería la clase de equivalencia a la cual este pertenece.Tener dos conjuntos ${displaystyle A}$, ${displaystyle B}$ con la misma cardinalidad (o sea, que pertenezcan al mismo cardinal) se denota:

o bien

La existencia de una función inyectiva entre dos conjuntos también define una relación de orden entre sus cardinales; es decir:

La relación ${displaystyle <_{#}}$ excluye la posibilidad que los cardinales sean iguales.
Es posible demostrar que si

y

esto implica que:

El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmente como 0 (cero):

El primer cardinal infinito (en el sentido de que sus representantes son conjuntos infinitos) es el cardinal de los naturales, y se denota usualmente por ${displaystyle omega }$. Se puede también demostrar que existe una función biyectiva entre los ordinales y los cardinales de conjuntos infinitos, tal que preserva el orden en ambos conjuntos (el orden de los ordinales y el ${displaystyle leq _{#}}$-orden en los cardinales). Esta función, llamada ${displaystyle aleph }$ (Álef), induce un buen orden en los cardinales, y de aquí proviene la notación ${displaystyle aleph _{0}=omega }$ para el primer cardinal infinito, ${displaystyle aleph _{1}}$ para el siguiente, etc.

Existe una relación entre el cardinal de un conjunto y el conjunto de partes o conjunto potencia:

Donde ${displaystyle |P(A)|}$ es el cardinal del conjunto de partes de ${displaystyle A}$.

Los números cardinales de algunos conjuntos se representan con símbolos especiales:

Usan

) puede comprobarse que los tres cardinales anteriores cumplen ${displaystyle aleph _{0}<aleph _{1}leq c}$. La hipótesis del continuo afirma que de hecho ${displaystyle c=aleph _{1}}$. Gödel probó en 1938 que esta hipótesis es consistente con los axiomas ZF, y por tanto puede ser tomado como un axioma nuevo para la teoría de conjuntos. Sin embargo, en 1963 Paul Cohen probó que la negación de la hipótesis del continuo también es consistente con los axiomas ZF, lo cual prueba que dicha hipótesis es totalmente independiente de los axiomas ZF. Es decir, pueden construirse tanto "teorías de conjuntos cantorianas" en las que la hipótesis del continuo es una afirmación cierta, como "teorías de conjuntos no cantorianas" en las que la hipótesis del continuo sea falsa. Esta situación es similar a la de las geometrías no euclídeas.

En teoría de conjuntos se emplean definiciones un poco más abstractas de cardinal, que requieren de la definición de los ordinales. En ese contexto se define la cardinalidad de un ordinal como:

${displaystyle |alpha |=min{eta in mathrm {Ord} | exists f:(f:alpha o eta )land (f mathrm {biyectiva} )}}$

Como cualquier conjunto de ordinales es siempre un conjunto bien ordenado, siempre existirá un mínimo con esa definición. Un cardinal es un ordinal que cumple que:

${displaystyle |alpha |=alpha }$

Todos los cardinales forman una clase dentro de los ordinales. De hecho, en cierta manera la clase de todos los cardinales es una clase de "ordinales iniciales" en el sentido de que un cardinal es un ordinal tal que no existe ningún otro ordinal del mismo tamaño. En particular, todos los ordinales regulares son cardinales.

El cardinal conjunto finito A = {2,4,5} es 3. Resulta trivial demostrar que esta función es inyectiva: f: {2,4,5} → {1,2,3}:

El cardinal del conjunto infinito P = {x ∈ ${displaystyle mathbb {N} }$ | x es par } formado por los números pares es ${displaystyle aleph _{0}}$. Para demostrarlo basta con definir las funciones:

Demostrando la inyectividad de ambas, concluimos que f es biyectiva. La cardinalidad del conjunto es ${displaystyle aleph _{0}}$. Esto concluye la demostración. Aunque este resultado puede parecer contrario a la intuición, ya que se puede pensar que hay más naturales que pares (porque, por ejemplo, el 1 es natural y no está incluido en los pares), demostramos que estos conjuntos son equipotentes.

El conjunto de pares ordenados (o, más generalmente, de n-tuplas) de números naturales tiene un cardinal ${displaystyle aleph _{0}}$. Esto se puede probar numerando los pares de números naturales anti-diagonalmente. Otro modo de demostrar es que ${displaystyle mathbb {N} imes mathbb {N} }$ tiene el mismo cardinal que un subconjunto infinito de los naturales:

Al ser 3 y 2 números primos, para cada par x, y obtendremos un número distinto. Entonces g es inyectiva y ${displaystyle operatorname {card} (mathbb {N} imes mathbb {N} )leq operatorname {card} (mathbb {N} )}$

El conjunto de los Números racionales ${displaystyle mathbb {Q} }$ tiene un cardinal igual a ${displaystyle aleph _{0}}$. Este resultado desafía un poco la intuición porque de un lado el conjunto de los racionales es "denso" en ${displaystyle mathbb {R} }$, que tiene cardinal ${displaystyle 2^{aleph _{0}}}$. De hecho, estudiando un poco la topología de los números reales, tenemos que entre dos números reales existe siempre un número racional, y entre dos racionales siempre hay un real irracional. Eso podría hacer pensar que ${displaystyle mathbb {Q} }$ y ${displaystyle mathbb {R} }$ son comparables según el número de elementos, pero resulta que ${displaystyle mathbb {Q} }$ solo tiene tantos elementos como ${displaystyle mathbb {N} }$, siendo el número de elementos de ${displaystyle mathbb {R} }$ un infinito muy superior al número de elementos de ${displaystyle mathbb {Q} }$.

Para comprobar que en efecto el conjunto ${displaystyle mathbb {Q} }$ es numerable y por lo tanto tiene el mismo cardinal que los naturales, podemos ver que existe una función inyectiva ${displaystyle i_{mathbb {Q} }}$. Si un número racional q es igual a r/s, siendo estos dos números primos relativos entre sí, entonces definimos:

Esto demuestra que ${displaystyle {mbox{card}}(mathbb {Q} )leq {mbox{card}}(mathbb {N} imes mathbb {N} )}$, y como ${displaystyle {mbox{card}}(mathbb {N} imes mathbb {N} )={mbox{card}}(mathbb {N} )}$ y los naturales son asimilables a un conjunto de los racionales, tenemos la cadena de desigualdades:

Por lo tanto:

Dados dos conjuntos disjuntos ${displaystyle scriptstyle {mathcal {A}}}$ y ${displaystyle scriptstyle {mathcal {B}}}$ con cardinales respectivos ${displaystyle scriptstyle A}$ y ${displaystyle scriptstyle B}$, se define el principio de la suma y el principio del producto para la suma y multiplicación de cardinales como:

Cuando los dos conjuntos son finitos, la aritmética de cardinales se reduce a la aritmética de números naturales. Sin embargo, cuando alguno de los dos conjuntos es infinito se tiene una extensión consistente de la aritmética de números naturales. Existen algunas relaciones aritméticas interesantes entre cardinales transfinitos:

La exponenciación de cardinales se define a partir del conjunto de funciones de entre los dos conjuntos ${displaystyle scriptstyle {mathcal {A}}}$ y ${displaystyle scriptstyle {mathcal {B}}}$:

Con las definiciones anteriores es inmediato comprobar que:

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