Órbita (matemáticas)

En matemáticas, y en particular en álgebra abstracta, una acción de un grupo ${displaystyle (G,*)}$ sobre un conjunto ${displaystyle X}$ es una aplicación ${displaystyle phi :G imes X o X}$ que cumple las dos condiciones siguientes:^[1]​

En tal caso se dice que el grupo ${displaystyle G}$ actúa sobre ${displaystyle X}$, y que el conjunto ${displaystyle X}$ es un ${displaystyle G}$-conjunto.^[2]​

Las dos condiciones anteriores equivalen a que, para cada elemento ${displaystyle g}$ de ${displaystyle G}$, la aplicación ${displaystyle phi _{g}=phi (g,cdot ):X o X}$ es una función biyectiva definida sobre ${displaystyle X}$. En consecuencia, una definición alternativa es que una acción es un homomorfismo entre el grupo ${displaystyle G}$ y el grupo ${displaystyle S_{X}}$

donde ${displaystyle S_{X}}$ denota el grupo formado por todas las funciones biyectivas de ${displaystyle X}$ en sí mismo, bajo la operación de composición de funciones, denominado grupo simétrico de ${displaystyle X}$. Se dice que el homomorfismo ${displaystyle heta }$ es una representación del grupo ${displaystyle G}$ por permutación.^[3]​

Otra notación utilizada para las acciones es ${displaystyle (g,x)mapsto gcdot x}$. Así los axiomas de acción se reescriben:

Es frecuente denominar puntos a los elementos del conjunto ${displaystyle X}$, para no causar confusión con los elementos del grupo ${displaystyle G}$.

El ejemplo más sencillo es la acción trivial: para cualquier ${displaystyle gin G}$ y ${displaystyle xin X}$, ${displaystyle phi (g,x)=x}$. Cuando la acción es trivial, cada biyección ${displaystyle phi _{g}}$ es la aplicación identidad del conjunto ${displaystyle X}$, que lleva cada elemento en sí mismo.

El grupo de tres elementos ${displaystyle mathbb {Z} /3mathbb {Z} ={0,1,2}}$ actúa sobre el plano complejo ${displaystyle mathbb {C} }$ de la siguiente manera:

donde ${displaystyle w}$ es una raíz cúbica de la unidad distinta de 1 (si tomáramos la raíz ${displaystyle w=1}$ la acción sería trivial). Geométricamente, esta acción representa rotaciones del plano complejo respecto del origen, con ángulos de 0, 120 y 240 grados.

Un tipo importante de acción es aquella en la que ${displaystyle X}$ es un espacio vectorial. Este tipo de acciones son el punto de partida de la teoría de la representación.

Se define el núcleo de una acción ${displaystyle phi :G imes X o X}$ como el conjunto de todos los elementos del grupo ${displaystyle G}$ que actúan trivialmente sobre todo punto de ${displaystyle X}$:^[4]​

Para cada elemento ${displaystyle g}$ del núcleo, la biyección asociada ${displaystyle phi _{g}}$ es la identidad de ${displaystyle X}$. Es por tanto el núcleo del homomorfismo ${displaystyle heta :G o S(X)}$, y como tal es un subgrupo normal del ${displaystyle G}$.

En contraste, se denominan puntos fijos de la acción a los elementos de ${displaystyle X}$ sobre los que todos los elemento de ${displaystyle G}$ actúan trivialmente, es decir:

Para cada elemento ${displaystyle x}$ de un conjunto ${displaystyle X}$ sobre el que actúa un grupo ${displaystyle G}$, podemos definir dos subconjuntos de interés.^[5]​

El estabilizador de un punto ${displaystyle xin X}$ se compone de todos los elementos de ${displaystyle G}$ que actúan trivialmente sobre ${displaystyle x}$

Otra forma de expresarlo es que contiene a los elementos del grupo que dejan fijo ${displaystyle x}$. En consecuencia, cuando ${displaystyle x}$ es un punto fijo su estabilizador es todo el grupo: ${displaystyle G_{x}=G}$. El núcleo de la acción es precisamente la intersección de los estabilizadores de todos los puntos de ${displaystyle X}$:

${displaystyle G_{x}}$ es un subgrupo de ${displaystyle G}$, no necesariamente normal. También es llamado subgrupo de isotropía de ${displaystyle x}$.^[6]​

La órbita de ${displaystyle x}$ se compone de todos los elementos de ${displaystyle X}$ que son imagen de ${displaystyle x}$ por la acción de algún elemento de ${displaystyle G}$:^[7]​

La órbita de ${displaystyle x}$ contiene a los elementos del conjunto ${displaystyle X}$ que se alcanzan desde ${displaystyle x}$ por la acción de ${displaystyle G}$. Cuando ${displaystyle x}$ es un punto fijo de la acción, su órbita se reduce al propio ${displaystyle x}$, esto es: ${displaystyle O_{x}={x}}$, y viceversa.

La relación «y pertenece a la órbita de x» es reflexiva, simétrica y transitiva, y por lo tanto es una relación de equivalencia. Por consiguiente, las órbitas bajo la acción de ${displaystyle G}$ forman una partición del conjunto ${displaystyle X}$, lo que significa que las órbitas de dos elementos distintos o bien coinciden, o bien son disjuntas.

Dado un punto arbitrario ${displaystyle xin X}$, existe una biyección entre su órbita y las clases laterales derechas (o izquierdas) en ${displaystyle G}$ de su estabilizador ${displaystyle G_{x}}$, es decir

En particular, si ${displaystyle G_{x}}$ es un subgrupo de índice finito en ${displaystyle G}$, la órbita de ${displaystyle x}$ es un conjunto finito y su cardinalidad es

Dos puntos de una misma órbita tienen estabilizadores conjugados por el elemento que lleva un punto en el otro:

Lo anterior se deriva de que si ${displaystyle h}$ es un elemento que deja fijo el punto ${displaystyle x}$, entonces

Cuando el conjunto sobre el que actúa un grupo ${displaystyle G}$ es el propio grupo, es decir ${displaystyle X=G}$, decimos que el grupo actúa sobre sí mismo. Las dos maneras más interesantes en las cuales un grupo puede actuar sobre sí mismo son por multiplicación y por conjugación.

Todo grupo ${displaystyle G}$ actúa sobre sí mismo por multiplicación^{[nota 2]}​ por la izquierda (respectivamente, por la derecha) mediante la acción definida por^[13]​

Esta acción es fiel (de hecho, el estabilizador de todo punto es trivial), transitiva, y existe una única órbita que abarca todo ${displaystyle G}$. Las acciones de multiplicación por la izquierda y multiplicación por la derecha coinciden precisamente cuando el grupo ${displaystyle G}$ es abeliano.

El hecho de que para todo grupo la acción por multiplicación sea fiel, significa que el homomorfismo

es inyectivo. Por el primer teorema de isomorfía, esto significa que el grupo ${displaystyle G}$ es isomorfo a un subgrupo de su propio grupo simétrico. En particular, si ${displaystyle G}$ es finito de orden ${displaystyle n}$, entonces es isomorfo a un subgrupo del grupo de permutaciones de n elementos, ${displaystyle S_{n}}$. Este resultado se conoce con el nombre de teorema de Cayley.^[14]​

Por otro lado, todo grupo ${displaystyle G}$ actúa sobre sí mismo por conjugación mediante la acción definida por^[15]​

El estabilizador de cada punto ${displaystyle g}$ está formado por los elementos de ${displaystyle G}$ que conmutan con ${displaystyle g}$, es decir, el centralizador de ${displaystyle g}$:

Cuando el grupo es abeliano la acción del grupo en sí mismo por conjugación es trivial. Nótese que entonces

Las órbitas bajo esta acción se denominan clases de conjugación. Los elementos del centro del grupo (formado por aquellos elementos que conmutan con cualquier otro, denotado por ${displaystyle Z(G)}$) forman cada uno de ellos una clase unipuntual (i.e. son puntos fijos). El recíproco también es cierto, es decir, si la clase de conjugación de un elemento ${displaystyle g}$ solo contiene a ese elemento entonces ${displaystyle g}$ pertenece al centro de ${displaystyle G}$, esto es:

La acción por conjugación de un grupo en sí mismo permite obtener la descomposición orbital de grupos finitos:

que es la unión disjunta de todas las clases de conjugación ${displaystyle {mathcal {K}}_{i}}$. En consecuencia

Por un lado distinguimos los elementos del centro, cada uno en su propia clase unitaria, y por otro el resto de clases:

Uniendo ambos resultados se obtiene la ecuación de clases para el orden de ${displaystyle G}$:^[16]​

donde ${displaystyle g_{1},...,g_{r}}$ es un conjunto de representantes de cada una de las clases de conjugación no contenidas en el centro de ${displaystyle G}$. La ecuación de clases permite derivar algunos resultados para los grupos finitos como el teorema de Cauchy y los teoremas de Sylow.

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