Continuidad absoluta

En cálculo, la continuidad absoluta es una propiedad de un función referida a su suavidad, que a su vez es una condición más restrictiva que la de ser simplemente continua y uniformemente continua. La noción de continuidad absoluta permite obtener ciertas generalizaciones de la relación entre dos operaciones fundamentales del cálculo, la derivación y la integración, expresadas mediante el teorema fundamental del cálculo en el marco de la integración de Riemann.

Esas generalizaciones se pueden formular también de la integración de Lebesgue. En ese caso se puede hablar tanto de "continuidad absoluta" de funciones, como de "continuidad absoluta" de medidas. La segunda de estas nociones puede generalizarse de varias maneras, así la generalización de la noción de derivada de una función lleva en el caso de una medida a la llamada derivada de Radon-Nikodym, o "densidad", de una medida.

Con respecto a las diferente nociones de continuidad es útil, tener presente la siguiente cadena de implicaciones para funciones definidas sobre un conjunto compacto de números reales:

y:

Una función continua puede no ser absolutamente continua si no es uniformemente continua, lo que puede suceder si el dominio no es compacto. Algunos ejemplos de esto son las funciones tan(x) definida sobre [0, ${displaystyle {frac {pi }{2}}}$), x² definida sobre la recta real, o sin(1/x) definida sobre (0, 1]).

Sea ${displaystyle I}$ un intervalo de la recta real ${displaystyle mathbb {R} }$. Una función ${displaystyle fcolon I o mathbb {R} }$ es absolutamente continua sobre ${displaystyle I}$ si para todo número positivo ${displaystyle varepsilon }$, existe otro número positivo ${displaystyle delta _{varepsilon }}$ tal que cualquier sucesión de subintervalos disjuntos dos a dos ${displaystyle (x_{k},y_{k})}$ de ${displaystyle I}$ con ${displaystyle x_{k},y_{k}in I}$ que satisface^[1]​

${displaystyle sum _{k}left(y_{k}-x_{k} ight)<delta _{varepsilon }}$

entonces

${displaystyle displaystyle sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|<varepsilon .}$

El conjunto de todas las funciones absolutamente continuas sobre ${displaystyle I}$ se designa como ${displaystyle operatorname {AC} (I)}$.

Las siguientes condiciones para una función real f definida sobre un intervalo compacto [a,b] son equivalentes:^[2]​

Si alguna de estas condiciones equivalentes se satisface entonces necesariamente se tendrá que g = f ′ casi en todas partes.

La equivalencia entre (1) y (3) se denomina teorema fundamental del cálculo integral de Lebesgue, y fue demostrada por el propio Lebesgue.^[3]​ Para construir una definición equivalente en términos de medidas ver la sección Relación entre dos nociones de continuidad absoluta.

Las siguientes funciones son continuas casi en todas partes pero no son absolutamente continuas:

Sea (X, d) un espacio métrico y sea I un intervalo de la recta real R. Una función f: I → X es absolutamente continua sobre I si prara cualquier número positivo ${displaystyle varepsilon }$, hay otro número positivo ${displaystyle delta }$ tal que cualquier sucesión de subintervalos disjuntos dos a dos [x_k, y_k] de I que satisface

${displaystyle sum _{k}left|y_{k}-x_{k} ight|<delta }$

entonces

${displaystyle sum _{k}dleft(f(y_{k}),f(x_{k}) ight)<varepsilon .}$

El conjunto de todas las funciones absolutamente continuas de I a X se denota como AC(I; X).

Una generalización adcional es el espacio AC^p(I; X) de curvas f: I → X tales que^[8]​

${displaystyle dleft(f(s),f(t) ight)leq int _{s}^{t}m( au ),mathrm {d} au {mbox{ para todo }}[s,t]subseteq I}$

para algún m en el espacio L^p(I).

Una medida ${displaystyle mu }$ sobre el álgebra de Borel de la recta real es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue ${displaystyle lambda }$ (en otras palabras, dominada por ${displaystyle lambda }$) si para cualquier conjunto medible ${displaystyle A}$, ${displaystyle lambda (A)=0}$ implica ${displaystyle mu (A)=0}$. Esto se denota como ${displaystyle mu ll lambda }$.

En la mayor parte de aplicaciones, si una medida sobre la recta real se dice que una "medida es absolutamente continua", sin especificar con respecto a que otra medida es absolutamente continua, entonces se sobre entiende que se está hablando respecto a la medida de Lebesgue. Lo mismo se aplica para ${displaystyle mathbb {R} ^{n},n=1,2,3,dots }$