Cuerpos finitos

En álgebra abstracta, un cuerpo finito, campo finito o campo de Galois (llamado así por Évariste Galois)^[1]​ es un cuerpo definido sobre un conjunto finito de elementos. Los cuerpos finitos son importantes en teoría de números, geometría algebraica, teoría de Galois, y criptografía. Todos los cuerpos finitos tienen un número de elementos q = pⁿ, para algún número primo p y algún entero positivo n. Para cada cardinalidad q así definida hay una y solo una manera posible de definir un cuerpo finito, por lo que todos los cuerpos finitos del mismo orden son isomorfos entre sí.^[2]​

Dado que todo cuerpo de característica 0 contiene a los racionales y es por lo tanto infinito, todos los cuerpos finitos tienen característica p prima. Por lo tanto, su tamaño (o cardinalidad) es de la forma pⁿ, para algún entero positivo n > 0 (pues el cuerpo es un espacio vectorial sobre el subcuerpo de cardinalidad p generado por el elemento 1). Sin embargo, no es cierto en general que todo cuerpo de característica prima sea finito.

Para todo primo p, los enteros módulo p forman un cuerpo de p elementos, denotado por Z/pZ (pues su grupo aditivo es isomorfo al grupo cíclico de p elementos), F_p, o GF(p); en algunos casos se usa Z_p, aunque esta notación es evitada por teoristas de los números, pues puede crear confusión con el anillo de los números p-ádicos. Todo cuerpo con p elementos es isomorfo a este.

Si q = pⁿ es una potencia de un primo, existe (salvo isomorfismo) exactamente un cuerpo con q elementos, en concreto, el cuerpo de descomposición de ${displaystyle x^{p^{n}}-x}$ sobre ${displaystyle mathbf {Z} /pmathbf {Z} }$.^[3]​ Dicho cuerpo se denota por F_q, F[pⁿ] o GF(pⁿ) y se puede construir de la siguiente manera:

El polinomio f(X) se puede hallar factorizando X^q-X sobre F_p. El cuerpo F_q contiene una copia de F_p como subcuerpo.

No hay otros cuerpo finitos.

Sea F[7] el conjunto de los enteros módulo 7 bajo la adición y multiplicación módulo 7. Es decir, los elementos de F[7] son las clases de equivalencia representadas por los elementos [0], [1], [2], [3], [4], [5] y [6] donde:

Se verifica que F[7] es un anillo conmutativo con elemento unitario [1]. Además se cumple:

Los elementos de F[7] distintos de cero forman un grupo abeliano bajo la multiplicación. F[7] es, pues, un campo. Puesto que tiene un número finito de elementos es un campo finito.

Sean a y b ≠ 0, elementos de F'[7], diremos que a÷b = c s.s.s. a = b×c

El cuerpo F[2²] se construye como el anillo cociente entre el anillo de polinomios con coeficientes en F[2] sobre el ideal generado por un polinomio irreducible, por ejemplo, f(x) = x² + x + 1.

El cuerpo F₄ puede representarse como el conjunto ${displaystyle {0,1,alpha ,alpha +1}}$ donde la suma y la multiplicación quedan definidas considerando que ${displaystyle alpha ^{2}+alpha +1=0}$. Por ejemplo, para hallar

Para encontrar un inverso multiplicativo de ${displaystyle alpha }$ en este campo, se debe encontrar un polinomio ${displaystyle g(alpha )}$ tal que ${displaystyle alpha imes g(alpha )=1 mod (alpha ^{2}+alpha +1)}$; el polinomio ${displaystyle g(alpha )=alpha +1}$ cumple esta propiedad, de modo que es el inverso de ${displaystyle alpha }$.

Obsérvese que el campo F₄ no tiene relación con el anillo Z₄ de enteros módulo 4.

Para construir el campo F[3³], se comienza con el polinomio irreducible (en F₃) x³ + x² + x - 1. Se tiene entonces

De modo equivalente, F[3³] = {ax² + bx + c | a, b, c ∈ F₃}, donde la multiplicación se define considerando que x³ + x² + x - 1 = 0.

Las matrices ${displaystyle A={egin{pmatrix}a_{0}&b_{0}\-b_{0}&a_{0}end{pmatrix}}}$ con a₀ y b₀ elementos de Z₃ forman un campo de 9 elementos, y el grupo multiplicativo de este campo, es cíclico, de orden 8. Es por tanto isomorfo a F[3²].

Dado un cuerpo ${displaystyle F_{q}}$, su grupo multiplicativo ${displaystyle F_{q}^{ imes }}$ es un grupo cíclico de orden q-1.^[5]​

Sea G uno de tales subgrupos, de orden ${displaystyle p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}...p_{k}^{e_{k}}}$. Por el teorema fundamental de grupos finitos abelianos, ${displaystyle Gcong Z_{p_{1}^{e_{1}}}otimes Z_{p_{2}^{e_{2}}}otimes ...otimes Z_{p_{k}^{e_{k}}}}$
Sea m el mínimo común múltiplo de ${displaystyle p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}...p_{k}^{e_{k}}}$
Dado que todo ${displaystyle xin G}$ satisface ${displaystyle x^{r}-1=0}$ para algún r que divide a m, entonces satisface ${displaystyle x^{m}-1=0}$
Puesto que ${displaystyle x^{m}-1=0}$ tiene como máximo m raíces en F, entonces ${displaystyle nleqslant m}$.
Por otro lado ${displaystyle mleqslant |G|}$, por lo que ${displaystyle m=n}$
Por tanto G contiene un elemento de orden n por lo que es cíclico.

Esto significa que si F es un campo finito de q elementos, siempre hay al menos un elemento x ∈ F tal que F = { 0, 1, x, x²,..., x^q-2 }. Los elementos x que cumplen esta condición reciben el nombre de elementos primitivos y el número de ellos viene dado por ${displaystyle varphi (q-1)}$, donde ${displaystyle varphi }$ es la función indicatriz de Euler.

Dado un elemento primitivo x, entonces para todo a ≠ 0 en F hay un único n ∈ {0,..., q - 2} tal que a = xⁿ. El valor de n para un dado a se llama logaritmo discreto de a en base x. En la práctica, aunque calcular xⁿ es relativamente trivial dado n, encontrar n para un a dado es un problema difícil, por lo que resulta de interés en criptografía.^[7]​

El cuerpo ${displaystyle F_{q}}$ (donde q=p^m) contiene una copia de ${displaystyle F_{q'}}$ (donde q'=pⁿ) si y solo si n divide a m. En esta situación, ${displaystyle F_{q'}}$ es un subcuerpo de ${displaystyle F_{q}}$, y ${displaystyle F_{q}}$ es una extensión de ${displaystyle F_{q'}}$. La razón para la dirección "si" es que hay polinomios irreducibles de cualquier grado en F_p^m.

No es posible que ${displaystyle qquad F_{P}subset F_{q'}subset F_{q}qquad }$ a no ser que n divida a m.
Suponiendo entonces que m = n k y substituyendo ${displaystyle qquad y=p^{n}qquad }$ en la ecuación
${displaystyle y^{m}-1=(y-1)cdot (y^{m-1}+...+y+1)qquad }$ se obtiene que q'-1 divide a q-1.
Puesto que el grupo multiplicativo ${displaystyle F_{q}^{ imes }}$ es cíclico de orden q-1, y q'-1 divide a q-1
Existe ${displaystyle eta in F_{q}^{ imes }:eta ^{q'-1}=1qquad }$, cuyas potencias q'-1 satisfacen ${displaystyle x^{q'-1}-1=0}$
Por tanto, ${displaystyle qquad x^{q'}-xqquad }$ descompone completamente a ${displaystyle F_{q}}$, y sus raíces forman un cuerpo de orden q'.

Si se construyen los campos finitos de forma tal que F_pⁿ esté efectivamente contenido en F_p^m siempre que n divida a m, se puede tomar la unión de todos esos campos; ésta es también un campo de característica p, aunque infinito. Es la clausura algebraica de cada uno de los campos F_pⁿ. Aun si no se construyen de esta manera los campos, se puede hablar de su clausura algebraica, aunque su construcción es ahora más delicada.

El teorema de Wedderburn, en ocasiones llamado pequeño teorema de Wedderburn para distinguirlo del teorema de Artin-Wedderburn, establece que todo dominio finito es un cuerpo. Por tanto, en lo que se refiere a los anillos finitos, no hay distinción entre dominios, anillos de división y cuerpos.^[8]​ Este teorema es equivalente a afirmar que el grupo de Brauer de todo cuerpo finito es trivial.

El teorema fue demostrado por Joseph Wedderburn en 1905, lo que supuso un avance en el ámbito de los anillos conmutativos.^[9]​

La función

definida por

es biyectiva y un endomorfismo, con lo cual es un automorfismo de F. Es un caso particular de un tipo de homomorfismo llamado endomorfismo de Frobenius, en honor a Ferdinand Georg Frobenius. El hecho de que el mapa f sea sobreyectivo implica que todo campo finito es perfecto.

El automorfismo de Frobenius tiene orden n, y por lo tanto el grupo cíclico generado por este es el grupo completo de automorfismos del cuerpo.

F₂:

F₃:

F₄:

Nota: ${displaystyle F[4]=F_{2}[alpha ]/langle alpha ^{2}+alpha +1 angle }$

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