Espacio hiperbólico

En matemáticas, un espacio hiperbólico es un espacio homogéneo con curvatura constante negativa, donde la curvatura se refiere a la curvatura seccional. Es geometría hiperbólica en más de 2 dimensiones, y se distingue de los espacios euclídeos con curvatura cero, que definen la geometría euclídea, y de la geometría elíptica, que tiene curvatura constante positiva.

Al embeberse en un espacio euclídeo (de mayor dimensión), todo punto de un espacio hiperbólico es un punto de silla. Otra propiedad importante es la cantidad de espacio cubierta por la n-bola en el n-espacio hiperbólico, que aumenta exponencialmente con respecto al radio de la bola para radios grandes, en lugar de polinómicamente.

El n-espacio hiperbólico, denotado ${displaystyle mathbb {H} ^{n}}$, es la variedad riemanniana maximalmente simétrica, simplemente conexa de dimensión n con curvatura seccional constante negativa. El espacio hiperbólico es un espacio que presenta geometría hiperbólica. Es el análogo de curvatura negativa de la n-esfera. Aunque el espacio hiperbólico ${displaystyle mathbb {H} ^{n}}$ es difeomorfo a ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, su métrica de curvatura negativa le da propiedades geométricas muy diferentes.

El 2-espacio hiperbólico, ${displaystyle mathbb {H} ^{2}}$, se conoce también como plano hiperbólico.

El espacio hiperbólico, desarrollado independientemente por Nikolái Lobachevski y János Bolyai, es un espacio geométrico análogo al espacio euclídeo, pero tal que el quinto postulado de Euclides no se cumple. En su lugar, se establece el siguiente postulado alternativo (en dos dimensiones):

Existe un teorema que dice que hay infinitas rectas de este tipo que pasan por ${displaystyle P}$. Este axioma no caracteriza de forma única el plano hiperbólico salvo isometría, sino que es necesario añadir una constante adicional, la curvatura ${displaystyle K<0}$, que debe especificarse. Sin embargo, lo caracteriza unívocamente salvo homotecia, es decir, salvo biyecciones que solo que solo cambian la noción de distancia por una constante general. Eligiendo una constante adecuada, se puede asumir sin pérdida de generalidad que ${displaystyle K=-1}$.

Se puede construir modelos de espacios hiperbólicos que pueden embeberse en un espacio euclídeo. En particular, la existencia de estos modelos prueba que el quinto postulado es independiente de los otros axiomas de la geometría euclídea.

Existen varios modelos importantes del espacio hiperbólico: el modelo de Klein, el modelo del hiperboloide, el modelo de la bola de Poincaré y el modelo del semiespacio de Poincaré. Todos ellos modelan la misma geometría en el sentido de que pueden relacionarse entre sí por transformaciones que preservan todas las propiedades geométricas del espacio, incluyendo isometría (aunque no con respecto a la métrica del embebimiento euclídeo).

El modelo del hiperboloide caracteriza el espacio hiperbólico como un hiperboloide en ${displaystyle mathbb {R} ^{n+1}={x_{0},dots ,x_{n}mid x_{i}in mathbb {R} ,;i=0,1,dots ,n}}$. El hiperboloide es el lugar geométrico ${displaystyle mathbb {H} ^{n}}$ de puntos cuyas coordenadas satisfacen

En este modelo, las geodésicas serán las curvas formadas por la intersección de ${displaystyle mathbb {H} ^{n}}$ con un plano que pase por el origen en ${displaystyle mathbb {R} ^{n+1}}$.

El modelo del hiperboloide está íntimamente relacionado con la geometría del espacio de Minkowski. La forma cuadrática

que define el hiperboloide, se polariza para obtener la forma bilineal

El espacio ${displaystyle mathbb {R} ^{n+1}}$, equipado con la forma bilineal ${displaystyle B}$, es un espacio de Minkowski de dimensión ${displaystyle (n+1)}$, ${displaystyle mathbb {R} ^{n,1}}$.

Se puede asociar una distancia en el modelo del hiperboloide,^[1]​ definiendo la distancia entre dos puntos ${displaystyle x}$ e ${displaystyle y}$ en ${displaystyle mathbb {H} ^{n}}$ como

Esta función satisface los axiomas de un espacio métrico. Se preserva bajo la acción del grupo de Lorentz en ${displaystyle mathbb {R} ^{n,1}}$. Así, el grupo de Lorentz actúa como un grupo de transformaciones que preserva las isometrías en ${displaystyle mathbb {H} ^{n}}$.

Un modelo alternativo de la geometría hiperbólica se define en un cierto dominio del espacio proyectivo. La forma cuadrática ${displaystyle Q}$ define un subconjunto ${displaystyle U^{n}subset mathbb {RP} ^{n}}$ dado por el lugar geométrico de los puntos para los que ${displaystyle Q(x)>0}$ en las coordenadas homogéneas ${displaystyle x}$. El dominio ${displaystyle U^{n}}$ es el modelo de Klein del espacio hiperbólico.

Las geodésicas de este modelo son los segmentos de recta abiertos del espacio proyectivo ambiente que yacen en ${displaystyle U^{n}}$. La distancia entre dos puntos ${displaystyle x}$ e ${displaystyle y}$ en ${displaystyle U^{n}}$ viene definida por

Esta distancia está bien definida en el espacio proyectivo, ya que el argumento del coseno hiperbólico inverso es homogéneo de grado 0.

Este modelo se relaciona con el modelo del hiperboloide como sigue. Cada punto ${displaystyle xin U^{n}}$ se corresponde con una recta ${displaystyle L_{x}}$ que pasa por el origen en ${displaystyle mathbb {R} ^{n+1}}$, por la definición de espacio proyectivo. Esta recta interseca al hiperboloide ${displaystyle mathbb {H} ^{n}}$ en un único punto. Análogamente, a través de cualquier punto de ${displaystyle mathbb {H} ^{n}}$ pasa una única recta que pase además por el origen (que es un punto en el espacio proyectivo). Esta correspondencia define una biyección entre ${displaystyle U^{n}}$ y ${displaystyle mathbb {H} ^{n}}$. Es además una isometría, ya que al evaluar ${displaystyle d(x,y)}$ a lo largo de ${displaystyle Q(x)=Q(y)=1}$ se reproduce la definición de distancia dada para el modelo del hiperboloide.

Dos modelos íntimamente relacionados de la geometría hiperbólica son los modelos de la bola de Poincaré y del semiespacio de Poincaré.

El modelo de la bola proviene de una proyección estereográfica del hiperboloide en ${displaystyle mathbb {R} ^{n+1}}$ en el hiperplano ${displaystyle {x_{0}=0}}$. De forma más detallada, sea ${displaystyle S}$ el punto en ${displaystyle mathbb {R} ^{n,1}}$ con coordenadas ${displaystyle (-1,0,0,...,0)}$, el polo sur de la proyección estereográfica. Para cada punto ${displaystyle P}$ en el hiperboloide ${displaystyle mathbb {H} ^{n}}$, sea ${displaystyle P^{*}}$el único punto de intersección de la recta ${displaystyle SP}$ con el plano ${displaystyle {x_{0}=0}}$.

Esto establece una biyección de ${displaystyle mathbb {H} ^{n}}$ en la bola unidad

en plano ${displaystyle {x_{0}=0}}$.

Las geodésicas en este modelo son semicírculos perpendiculares a la esfera frontera de ${displaystyle B^{n}}$. Las isometrías de la bola están generadas por la inversión esférica de hiperesferas perpendiculares a la frontera.

El modelo del semiespacio resulta de aplicar inversión en una circunferencia con centro un punto frontera en la bola de Poincaré ${displaystyle B^{n}}$ y radio dos veces el radio.

Esto envía circunferencias en rectas y es además una transformación conforme. En consecuencia, las geodésicas del modelo del semiespacio son rectas y circunferencias perpendiculares al hiperplano frontera.

Toda variedad completa, conexa y simplemente conexa de curvatura negativa constante ${displaystyle -1}$ es isométrica al espacio hiperbólico real ${displaystyle mathbb {H} ^{n}}$. En consecuencia, el recubridor universal de cualquier variedad cerrada ${displaystyle M}$ de curvatura constante negativa ${displaystyle -1}$, esto es, una variedad hiperbólica, es ${displaystyle mathbb {H} ^{n}}$. Así, esta ${displaystyle M}$ puede escribirse como ${displaystyle mathbb {H} ^{n}/Gamma }$ donde ${displaystyle Gamma }$ es un grupo discreto libre de torsión de isometrías en ${displaystyle mathbb {H} ^{n}}$. Esto es, ${displaystyle Gamma }$ es un retículo en ${displaystyle SO^{+}(n,1)}$.

Las superficies hiperbólicas de dimensión 2 también pueden entenderse según el lenguaje de superficies de Riemann. De acuerdo al teorema de uniformización, toda superficie de Riemann es o elíptica, o parabólica o hiperbólica. La mayoría de superficies hiperbólicas tienen grupo fundamental no trivial ${displaystyle pi _{1}=Gamma }$; los grupos que surgen de esta forma se conocen como grupos fuchsianos. El espacio cociente ${displaystyle mathbb {H} ^{2}/Gamma }$ del semiplano superior módulo el grupo fundamental se conoce como modelo fuchsiano de la superficie hiperbólica. El semiplano de Poincaré es también hiperbólico, pero es simplemente conexo y no compacto. Es el recubridor universal de las otras superficies hiperbólicas.

La construcción análoga para las superficies hiperbólicas tridimensionales es el modelo kleiniano.

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