Conjuntos numéricos

Un número, en ciencia, es una abstracción que representa una cantidad o una magnitud. En matemáticas un número puede representar una cantidad métrica o más generalmente un elemento de un sistema numérico o un número ordinal que representará una posición dentro de un orden de una serie determinada. Los números complejos se usan como una herramienta útil para resolver problemas algebraicos y que algebraicamente son un mero añadido a los números reales, que a su vez ampliaron el concepto de número ordinal. Sobre todo, un número real resuelve el problema de comparación de dos medidas, tanto si son conmensurables como inconmensurables. Ejemplo: el lado de un cuadrado es conmensurable con su perímetro, pero el lado del cuadrado con la diagonal del mismo son inconmensurables.^[1]​

También, en sentido amplio, indica el carácter gráfico que sirve para representarlo; dicho símbolo gráfico de un número recibe propiamente la denominación de numeral o cifra. El que se escribe con un solo guarismo se llama dígito.^[2]​

El concepto de número incluye abstracciones tales como números fraccionarios, negativos, irracionales, trascendentales, complejos, y también números de tipo más abstracto como los números hipercomplejos, que generalizan el concepto de número complejo, o los números hiperreales, los superreales y los surreales, que incluyen a los números reales como subconjunto.

Los números más conocidos son los números naturales. Denotados mediante ${displaystyle mathbb {N} }$, son conceptualmente los más simples y los que se usan para contar unidades discretas. Estos, conjuntamente con los números «negativos», conforman el conjunto de los enteros, denotados mediante ${displaystyle mathbb {Z} }$ (del alemán Zahlen, ‘números’). Los números naturales negativos permiten representar formalmente deudas, y permiten generalizar la resta de cualesquiera dos números naturales.

Otro tipo de números ampliamente usados son números fraccionarios, y representan tanto cantidades inferiores a una unidad, como números mixtos (un conjunto de unidades más una parte inferior a la unidad). Los números fraccionarios pueden ser expresados siempre como cocientes de enteros. El conjunto de todos los números fraccionarios es el conjunto de los números racionales (que usualmente se define para que incluya tanto a los racionales positivos, como a los racionales negativos y el cero). Este conjunto de números se designa como ${displaystyle mathbb {Q} }$.

Los números racionales permiten resolver gran cantidad de problemas prácticos, pero desde los antiguos griegos se conoce que ciertas relaciones geométricas (la diagonal de un cuadrado de lado unidad) son números no enteros que tampoco son racionales. Igualmente, la solución numérica de una ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales, usualmente es un número no racional. Puede demostrarse que cualquier número irracional puede representarse como una sucesión de Cauchy de números racionales que se aproximan a un límite numérico. El conjunto de todos los números racionales y los irracionales (obtenidos como límites de sucesiones de Cauchy de números racionales) es el conjunto de los números reales ${displaystyle mathbb {R} }$. Durante un tiempo se pensó que toda magnitud física existente podía ser expresada en términos de números reales exclusivamente. Entre los reales, existen números que no son soluciones de una ecuación polinomial o algebraica, que reciben el nombre de transcendentales. Ejemplos famosos de estos números son el número π (Pi) y el número e (este último base de los logaritmos naturales), los cuales están relacionados entre sí por la identidad de Euler.

Uno de los problemas de los números reales es que no forman un cuerpo algebraicamente cerrado, por lo que ciertos problemas no tienen solución planteados en términos de números reales. Esa es una de las razones por las cuales se introdujeron los números complejos ${displaystyle mathbb {C} }$, que son el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a los números reales. Además, en algunas aplicaciones prácticas así como en las formulaciones estándar de la mecánica cuántica se considera útil introducir los números complejos. Al parecer la estructura matemática de los números complejos refleja estructuras existentes en problemas físicos, por lo que en física teórica y en diversas aplicaciones los números complejos se usan en pie de igualdad con los números reales, a pesar de que inicialmente fueron considerados únicamente como un artificio matemático sin relación con la realidad física. Todos los conjuntos de números ${displaystyle mathbb {N} ,mathbb {Z} ,mathbb {Q} ,mathbb {R} ,mathbb {C} }$ fueron de alguna manera «descubiertos» o sugeridos en conexión con problemas planteados en problemas físicos o en el seno de la matemática elemental y todos ellos parecen tener importantes conexiones con la realidad física.

Fuera de los números reales y complejos, claramente conectados con problemas de las ciencias naturales, existen otros tipos de números que generalizan aún más y extienden el concepto de número de una manera más abstracta y responden más a creaciones deliberadas de matemáticos. La mayoría de estas generalizaciones del concepto de número se usan sólo en matemáticas, aunque algunos de ellos han encontrado aplicaciones para resolver ciertos problemas físicos. Entre ellos están los números hipercomplejos, que incluyen a los cuaterniones, útiles para representar rotaciones en un espacio de tres dimensiones, y generalizaciones de estos, como octoniones y los sedeniones.

A un nivel un poco más abstracto también se han ideado conjuntos de números capaces de tratar con cantidades infinitas e infinitesimales, como los hiperreales y los transfinitos.

La teoría de los números trata básicamente de las propiedades de los números naturales y los enteros, mientras que las operaciones del álgebra y el cálculo permiten definir la mayor parte de los sistemas numéricos, entre los cuales están:

En álgebra abstracta y análisis matemático un sistema numérico se caracteriza por una:

Otra propiedad interesante de muchos conjuntos numéricos es que son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta). Tanto históricamente como conceptualmente, los diversos conjuntos numéricos, desde el más simple de los números naturales, hasta extensiones transcendentes de los números reales y complejos, elaboradas mediante la teoría de modelos durante el siglo XX, se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja.^[4]​

El estudio de ciertas propiedades que cumplen los números ha producido una enorme cantidad de tipos de números, la mayoría sin un interés matemático específico. A continuación se indican algunos:

Una vez entendido el problema de la naturaleza y la clasificación de los números, surge otro, más práctico, pero que condiciona todo lo que se va a hacer con ellos: la manera de escribirlos. El sistema que se ha impuesto universalmente es la numeración posicional, gracias al invento del cero, con una base constante.

Más formalmente, en Los fundamentos de la aritmética, Gottlob Frege realiza una definición de «número», la cual fue tomada como referencia por muchos matemáticos (entre ellos Bertrand Russell, cocreador de Principia mathematica):

Véase también que Frege, tanto como cualquier otro matemático, se ve inhabilitado para definir al número como la expresión de una cantidad, porque la simbología matemática no hace referencia necesaria a la numerabilidad, y el hecho de «cantidad» referiría a algo numerable, mientras que números se adoptan para definir la cardinalidad de, por ejemplo, los elementos que se encuentran en el intervalo abierto (0, 1), que contiene innumerables elementos (el continuo).

Peano, antes de establecer sus cinco proposiciones sobre los números naturales, explícita que supone sabida una definición (quizás debido a su «obviedad») de las palabras o conceptos cero, sucesor y número. De esta manera postula:

Sin embargo, si uno define el concepto cero como el número 100, y el concepto número como los números mayores a 100, entonces las cinco proposiciones mencionadas anteriormente aplican, no a la idea que Peano habría querido comunicar, sino a su formalización.

La definición de número se encuentra por ende no totalmente formalizada, aunque se encuentre un acuerdo mayoritario en adoptar la definición enunciada por Frege.

Cognitivamente el concepto de número está asociado a la habilidad de contar y comparar cual de dos conjuntos de entidades similares tiene mayor cantidad de elementos. Las primeras sociedades humanas se encontraron muy pronto con el problema de determinar cual de dos conjuntos era «mayor» que otro, o de conocer con precisión cuantos elementos formaban una colección de cosas. Esos problemas podían ser resueltos simplemente contando. La habilidad de contar del ser humano, no es un fenómeno simple, aunque la mayoría de culturas tienen sistemas de cuenta que llegan como mínimo a centenares, algunos pueblos con una cultura material simple, solo disponen de términos para los números 1, 2 y 3 y usualmente usan el término «muchos» para cantidades mayores, aunque cuando es necesario usan recursivamente expresiones traducibles como «3 más 3 y otros 3» cuando es necesario.

El conteo se debió iniciar mediante el uso de objetos físicos (tales como montones de piedras) y de marcas de cuenta, como las encontradas en huesos tallados: el de Lebombo, con 29 muescas grabadas en un hueso de babuino, tiene unos 37 000 años de antigüedad y otro hueso de lobo encontrado en la antigua Checoslovaquia, con 57 marcas dispuestas en cinco grupos de 11 y dos sueltas, se ha estimado en unos 30 000 años de antigüedad. Ambos casos constituyen una de las más antiguas marcas de cuenta conocidas habiéndose sugerido que pudieran estar relacionadas con registros de fases lunares.^[5]​ En cuanto al origen ordinal algunas teorías lo sitúan en rituales religiosos. Los sistemas numerales de la mayoría de familias lingüísticas reflejan que la operación de contar estuvo asociado al conteo de dedos (razón por la cual los sistemas de base decimal y vigesimal son los más abundantes), aunque están testimoniado el empleo de otras bases numéricas además de 10 y 20.

El paso hacia los símbolos numerales, al igual que la escritura, se ha asociado a la aparición de sociedades complejas con instituciones centralizadas constituyendo artificios burocráticos de contabilidad en registros impositivos y de propiedades. Su origen estaría en primitivos símbolos con diferentes formas para el recuento de diferentes tipos de bienes como los que se han encontrado en Mesopotamia inscritos en tablillas de arcilla que a su vez habían venido a sustituir progresivamente el conteo de diferentes bienes mediante fichas de arcilla (constatadas al menos desde el 8000 a. C.) Los símbolos numerales más antiguos encontrados se sitúan en las civilizaciones mesopotámicas usándose como sistema de numeración ya no solo para la contabilidad o el comercio sino también para la agrimensura o la astronomía como, por ejemplo, registros de movimientos planetarios.^[6]​

En conjunto, desde hace 5000 años la mayoría de las civilizaciones han contado como lo hacemos hoy aunque la forma de escribir los números (si bien todos representan con exactitud los naturales) ha sido muy diversa. Básicamente la podemos clasificar en tres categorías:

En este papiro adquirido por Henry Rhind en 1858 cuyo contenido data del 2000 al 1800 a. C. además del sistema de numeración antes descrito nos encontramos con su tratamiento de las fracciones. No consideran las fracciones en general, solo las fracciones unitarias (inversas de los naturales 1/20) que se representan con un signo oval encima del número, la fracción 2/3 que se representa con un signo especial y en algunos casos fracciones del tipo ${displaystyle n/n+1}$. Hay tablas de descomposición de ${displaystyle 2/n}$ desde n=1 hasta n=101, como por ejemplo ${displaystyle 2/5=1/3+1/15}$ o ${displaystyle 2/7=1/4+1/28}$, no sabemos por qué no utilizaban ${displaystyle 2/n=1/n+1/n}$ pero parece que trataban de utilizar fracciones unitarias menores que ${displaystyle 1/n}$.

Al ser un sistema sumativo la notación es: 1+1/2+1/4 . La operación fundamental es la suma y nuestras multiplicaciones y divisiones se hacían por «duplicaciones» y «mediaciones», por ejemplo 69×19=69×(16+2+1), donde 16 representa 4 duplicaciones y 2 una duplicación.

En las tablillas cuneiformes de la dinastía Hammurabi (1800-1600 a. C.) aparece el sistema posicional, antes referido, extendido a las fracciones, pero XXX vale para ${displaystyle 2 imes 60+2}$, ${displaystyle 2+2 imes 60-1}$ o ${displaystyle 2 imes 60-1+2 imes 60-2}$ con una representación basada en la interpretación del problema.

Para calcular recurrían, como nosotros antes de disponer de máquinas, a las numerosas tablas que disponían: De multiplicar, de inversos, de cuadrados y cubos, de raíces cuadradas y cúbicas, de potencias sucesivas de un número dado no fijo, etc. Por ejemplo, para calcular ${displaystyle a}$, tomaban su mejor aproximación entera ${displaystyle a_{1}}$, y calculaban ${displaystyle b_{1}=a/a_{1}}$ (una mayor y otra menor) y entonces ${displaystyle a_{2}=(a_{1}+b_{1})/2}$ es mejor aproximación, procediendo igual obtenemos ${displaystyle b_{2}=a/a_{2}}$ y ${displaystyle a_{3}=(a_{2}+b_{2})/2}$ obteniendo en la tablilla Yale-7289 2=1;24,51,10 (en base decimal 1,414222) como valor de ${displaystyle a_{3}}$ partiendo de ${displaystyle a_{1}=1;30}$ (véase algoritmo babilónico).

Realizaban las operaciones de forma parecida a hoy, la división multiplicando por el inverso (para lo que utilizan sus tablas de inversos). En la tabla de inversos faltan los de 7 y 11 que tienen una expresión sexagesimal infinitamente larga. Sí están 1/59=;1,1,1 (nuestro 1/9=0,111…) y 1/61=;0,59,0,59 (nuestro 1/11=0,0909…) pero no se percataron del desarrollo periódico.

Las circunstancias y la fecha de este descubrimiento son inciertas, aunque se atribuye a la escuela pitagórica (se utiliza el Teorema de Pitágoras). Aristóteles menciona una demostración de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con respecto a su lado basada en la distinción entre lo par y lo impar. La reconstrucción que realiza C. Boyer es:

Sean d:diagonal, s:lado y d/s racional que podremos escribirlo como ${displaystyle p/q}$ con p y q primos entre sí. Por el teorema de Pitágoras tenemos que ${displaystyle d^{2}=s^{2}+s^{2}}$ , ${displaystyle (d/s)^{2}=p^{2}/q^{2}=2}$, entonces ${displaystyle p^{2}=2q^{2}}$ y por tanto ${displaystyle p^{2}}$ debe ser par y también p, y por tanto q impar. Al ser p par tenemos ${displaystyle p=2r}$, entonces ${displaystyle 4r^{2}=2q^{2}}$ y ${displaystyle 2r^{2}=q^{2}}$, entonces ${displaystyle q^{2}}$ es par y q también, entonces q es par e impar con lo que tenemos una contradicción.

La teoría pitagórica de todo es número quedó seriamente dañada.

El problema lo resolvería Eudoxo de Cnido (408-355 a. C.) tal como nos indica Euclides en el libro V de Los elementos. Para ello estableció el Axioma de Arquímedes: Dos magnitudes tienen una razón si se puede encontrar un múltiplo de una de ellas que supere a la otra (excluye el 0). Después en la Definición-5 da la famosa formulación de Eudoxo: Dos magnitudes están en la misma razón ${displaystyle a/b=c/d}$ si dados dos números naturales cualesquiera m y n, si ${displaystyle ma=nb}$ entonces ${displaystyle mc=nd}$ (definición que intercambiando el 2º y 3º términos equivale a nuestro procedimiento actual).

En el libro de J.P. Colette se hace la observación de que esta definición está muy próxima a la de número real que dará Dedekind en el siglo XIX, divide las fracciones en las ${displaystyle m/n}$ tales que ${displaystyle ma=nb}$ y las que no.

En cualquier sistema de numeración posicional surge el problema de la falta de unidades de determinado orden. Por ejemplo, en el sistema babilónico el número ${displaystyle 32}$ escrito en base 60 puede ser ${displaystyle 3 imes 60+2}$ o ${displaystyle 3 imes 60^{2}+0 imes 60+2}$. A veces, se utilizaba la posición vacía para evitar este problema 3 _ 2; pero los escribas debían tener mucho cuidado para no equivocarse.

Hacia el siglo III a. C., en Grecia, se comenzó a representar la nada mediante una "o" que significa oudos 'vacío', y que no dio origen al concepto de cero como existe hoy en día. La idea del cero como concepto matemático parece haber surgido en la India mucho antes que en ningún otro lugar. La única notación ordinal del viejo mundo fue la sumeria, donde el cero se representaba por un vacío.

En América, la primera expresión conocida del sistema de numeración vigesimal prehispánico data del siglo III a. C. Se trata de una estela olmeca tardía, la cual ya contaba tanto con el concepto de "orden" como el de "cero". Los mayas inventaron cuatro signos para el cero; los principales eran: el corte de un caracol para el cero matemático, y una flor para el cero calendárico (que implicaba no la ausencia de cantidad, sino el cumplimiento de un ciclo).

Brahmagupta, en el 628 de nuestra era, considera las dos raíces de las ecuaciones cuadráticas, aunque una de ellas sea negativa o irracional. De hecho en su obra es la primera vez que aparece sistematizada la aritmética (+, -, *, / , potencias y raíces) de los números positivos, negativos y el cero, que él llamaba los bienes, las deudas y la nada. Así, por ejemplo, para el cociente, establece:

Positivo dividido por positivo, o negativo dividido por negativo, es afirmativo. Cifra dividido por cifra es nada (0/0=0). Positivo dividido por negativo es negativo. Negativo dividido por afirmativo es negativo. Positivo o negativo dividido por cifra es una fracción que la tiene por denominador (a/0=¿?)

No solo utilizó los negativos en los cálculos, sino que los consideró como entidades aisladas, sin hacer referencia a la geometría. Todo esto se consiguió gracias a su despreocupación por el rigor y la fundamentación lógica, y su mezcla de lo práctico con lo formal.

Sin embargo el tratamiento que hicieron de los negativos cayó en el vacío, y fue necesario que transcurrieran varios siglos (hasta el Renacimiento) para que fuese recuperado.

Al parecer los chinos también poseían la idea de número negativo, y estaban acostumbrados a calcular con ellos utilizando varillas negras para los negativos y rojas para los positivos.

Varios autores del siglo XIII contribuyeron a esta difusión, destacan Alexandre de Villedieu (1225), Sacrobosco (circa 1195, o 1200-1256) y sobre todo Leonardo de Pisa (1180-1250). Este último, conocido como Fibonacci, viajó por Oriente y aprendió de los árabes el sistema posicional hindú. Escribió un libro, El Liber abaci, que trata en el capítulo I la numeración posicional, en los cuatro siguientes las operaciones elementales, en los capítulos VI y VII las fracciones: comunes, sexagesimales y unitarias (¡no usa los decimales, principal ventaja del sistema!), y en el capítulo XIV los radicales cuadrados y cúbicos. También contiene el problema de los conejos que da la serie: ${displaystyle 1,1,2,3,5,8,...,u_{n}}$ con ${displaystyle u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}}$.

No aparecen los números negativos, que tampoco consideraron los árabes, debido a la identificación de número con magnitud (¡obstáculo que duraría siglos!). A pesar de la ventaja de sus algoritmos de cálculo, se desataría por diversas causas una lucha encarnizada entre abacistas y algoristas, hasta el triunfo final de estos últimos.

Pietro Antonio Cataldi (1548-1626), aunque con ejemplos numéricos, desarrolla una raíz cuadrada en fracciones continuas como hoy: Queremos calcular ${displaystyle N}$ y sea ${displaystyle a}$ el mayor número cuyo cuadrado es menor que ${displaystyle N}$ y ${displaystyle b=N^{2}-a^{2}}$, tenemos: ${displaystyle N-a=(N^{2}-a^{2})/(N+a)=b/(2a+N-a)=b/(2a+(b/2a+...))}$ que con su notación escribía: n=a&b/2.a.&b/2.a… Así 18=4&2/8.&2/8, que da las aproximaciones 4+(1/4), 4+(8/33)…

Siendo así los números irracionales aceptados con toda normalidad, pues se les podía aproximar fácilmente mediante números racionales.

Los números complejos eran en pocos casos aceptados como raíces o soluciones de ecuaciones (M. Stifel (1487-1567), S. Stevin (1548-1620)) y por casi ninguno como coeficientes). Estos números se llamaron inicialmente ficticii 'ficticios' (el término "imaginario" usado actualmente es reminiscente de estas reticencias a considerarlos números respetables). A pesar de esto G. Cardano (1501-1576) conoce la regla de los signos y R. Bombelli (1526-1573) las reglas aditivas a través de haberes y débitos, pero se consideran manipulaciones formales para resolver ecuaciones, sin entidad al no provenir de la medida o el conteo.

Cardano en la resolución del problema dividir 10 en dos partes tales que su producto valga 40 obtiene como soluciones ${displaystyle 5+{sqrt {-15}}}$ (en su notación 5p:Rm:15) y ${displaystyle 5-{sqrt {-15}}}$ (en su notación 5m:Rm:15), soluciones que consideró meras manipulaciones «sutiles, pero inútiles».

En la resolución de ecuaciones cúbicas con la fórmula de Cardano-Tartaglia, aunque las raíces sean reales, aparecen en los pasos intermedios raíces de números negativos. En esta situación Bombelli dice en su Álgebra que tuvo lo que llamó "una idea loca", esta era que los radicales podían tener la misma relación que los radicandos y operar con ellos, tratando de eliminarlos después. En un texto posterior en 20 años utiliza p.d.m. ${displaystyle (+mathrm {i} )}$ para ${displaystyle +{sqrt {-1}}}$ y m.d.m. ${displaystyle (-mathrm {i} )}$ para ${displaystyle -{sqrt {-1}}}$ dando las reglas para operar con estos símbolos añadiendo que siempre que aparece una de estas expresiones aparece también su conjugada, como en las ecuaciones de 2º grado que resuelve correctamente. Da un método para calcular ${displaystyle a+bmathrm {i} }$.

Aunque se encuentra un uso más que casual de las fracciones decimales en la Arabia medieval y en la Europa renacentista, y ya en 1579 Vieta (1540-1603) proclamaba su apoyo a éstas frente a las sexagesimales, y las aceptaban los matemáticos que se dedicaban a la investigación, su uso se generalizó con la obra que Simon Stevin publicó en 1585 De Thiende (La Disme). En su definición primera dice que la Disme es un especie de aritmética que permite efectuar todas las cuentas y medidas utilizando únicamente números naturales. En las siguientes define nuestra parte entera: cualquier número que vaya el primero se dice comienzo y su signo es (0), (primera posición decimal 1/10). El siguiente se dice primera y su signo es (1) (segunda posición decimal 1/100). El siguiente se dice segunda (2). Es decir, los números decimales que escribe: 0,375 como 3(1)7(2)5(3), o 372,43 como 372(0)4(1)3(2). Añade que no se utiliza ningún número roto (fracciones), y el número de los signos, exceptuando el 0, no excede nunca a 9.

Esta notación la simplificó Joost Bürgi (1552-1632) eliminando la mención al orden de las cifras y sustituyéndolo por un «.» en la parte superior de las unidades 372·43, poco después Magini (1555-1617) usó el «.» entre las unidades y las décimas: 372.43, uso que se generalizaría al aparecer en la Constructio de Napier (1550-1617) de 1619. La «,» también fue usada a comienzos del siglo XVII por el holandés Willebrord Snellius: 372,43.

Su antecedente es un método de demostración, llamado inducción completa, por aplicación reiterada de un mismo silogismo que se extiende indefinidamente y que usó Maurolyco (1494-1575) para demostrar que la suma de los primeros ${displaystyle n}$ números naturales impares es el cuadrado del ${displaystyle n}$-ésimo término, es decir ${displaystyle 1+3+5+7+dots +(2n-1)=n^{2}}$. Pascal (1623-1662) usó el método de inducción matemática, en su formulación abstracta, tal y como lo conocemos hoy para probar propiedades relativas al triángulo numérico que lleva su nombre. La demostración por inducción consta siempre de dos partes: el paso base y el paso inductivo, los cuales se describen a continuación en notación moderna:

Si ${displaystyle S}$ es un subconjunto de los números naturales (denotado por ${displaystyle mathbb {N} }$) donde cada elemento ${displaystyle n}$ cumple la propiedad ${displaystyle P(n)}$ y se tiene que:

entonces ${displaystyle S=mathbb {N} }$, es decir que todos los números naturales ${displaystyle n}$ tienen la propiedad ${displaystyle P(n)}$.

De manera intuitiva se entiende la inducción como un efecto dominó. Suponiendo que se tiene una fila infinita de fichas de dominó, el paso base equivale a tirar la primera ficha; por otro lado, el paso inductivo equivale a demostrar que si alguna ficha se cae, entonces la ficha siguiente también se caerá. La conclusión es que se pueden tirar todas las fichas de esa fila.

Esta interpretación suele ser atribuida a Gauss (1777-1855) que hizo su tesis doctoral sobre el teorema fundamental del álgebra, enunciado por primera vez por Harriot y Girard en 1631, con intentos de demostración realizados por D’Alembert, Euler y Lagrange, demostrando que las pruebas anteriores eran falsas y dando una demostración correcta primero para el caso de coeficientes, y después de complejos. También trabajó con los números enteros complejos que adoptan la forma ${displaystyle a+bi}$, con ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ enteros. Este símbolo ${displaystyle i}$ para ${displaystyle {sqrt {-1}}}$ fue introducido por primera vez por Euler en 1777 y difundido por Gauss en su obra Disquisitiones arithmeticae de 1801.

La representación gráfica de los números complejos había sido descubierta ya por Caspar Wessel (1745-1818) pero pasó desapercibida, y así el plano de los números complejos se llama «plano de Gauss» a pesar de no publicar sus ideas hasta 30 años después.

Desde la época de Girard (mitad siglo XVII) se conocía que los números reales se pueden representar en correspondencia con los puntos de una recta. Al identificar ahora los complejos con los puntos del plano los matemáticos se sentirán cómodos con estos números, ver es creer.

La distinción entre números irracionales algebraicos y trascendentes data del siglo XVIII, en la época en que Euler demostró que ${displaystyle e}$ y ${displaystyle e^{2}}$ son irracionales y Lambert que lo es π. Los trabajos de Legendre sobre la hipótesis de que π podía no ser raíz de una ecuación algebraica con coeficientes racionales, señalaron el camino para distinguir distintos tipos de irracionales. Euler ya hacía esta distinción en 1744 pero habría que esperar casi un siglo para que se estableciera claramente la existencia de los irracionales trascendentes en los trabajos de Liouville, Hermite y Lindeman.

Liouville (1809-1882) demostró en 1844 que todos los números de la forma ${displaystyle a_{1}/10+a_{2}/10^{2!}+a_{3}/10^{3!}+...}$ (p. ej., 0,101001…) son trascendentes.

Hermite (1822-1901) en una memoria Sobre la función exponencial de 1873 demostró la trascendencia de ${displaystyle e}$ probando de una forma muy sofisticada que la ecuación: ${displaystyle c_{0}+c_{1}e+...+c_{n}e^{n}=0}$ no puede existir.

Lindeman (1852-1939) en la memoria Sobre el número ${displaystyle e}$ de 1882 prueba que el número e no puede satisfacer la ecuación: ${displaystyle c_{1}e^{x}+c_{2}e^{x}+............+c_{n}e^{x}=0}$ con ${displaystyle x}$ y ${displaystyle c_{i}}$ algebraicos, por tanto la ecuación ${displaystyle e^{ix}+1=0}$ no tiene solución para x algebraico, pero haciendo ${displaystyle x=pi }$ tenemos ${displaystyle e^{pi i}+1=0}$, entonces ${displaystyle x=pi i}$ no puede ser algebraico y como i lo es entonces π es trascendente.

El problema 7 de Hilbert (1862-1943) que plantea si ${displaystyle a^{b}}$, con a algebraico distinto de cero y de uno, y b irracional algebraico, es trascendente fue resuelto afirmativamente por Gelfond (1906-1968) en 1934. Pero no se sabe si son trascendentes o no: ${displaystyle e^{e}}$,${displaystyle e^{e^{e}}}$, ${displaystyle e^{e^{e^{e}}}}$, … Sin embargo, e y 1/e sí que son trascendentes.

Hasta mediados del siglo XIX los matemáticos se contentaban con una comprensión intuitiva de los números y sus sencillas propiedades no son establecidas lógicamente hasta el siglo XIX. La introducción del rigor en el análisis puso de manifiesto la falta de claridad y la imprecisión del sistema de los números reales, y exigía su estructuración lógica sobre bases aritméticas.

Bolzano había hecho un intento de construir los números reales basándose en sucesiones de números racionales, pero su teoría pasó desapercibida y no se publicó hasta 1962. Hamilton hizo un intento, haciendo referencia a la magnitud tiempo, a partir de particiones de números racionales:

Pero en el mismo año 1872 cinco matemáticos, un francés y cuatro alemanes, publicaron sus trabajos sobre la aritmetización de los números reales:

La construcción de obtención de los números complejos a partir de los números reales, y su conexión con el grupo de transformaciones afines en el plano sugirió a algunos matemáticos otras generalizaciones similares conocidas como números hipercomplejos. En todas estas generalizaciones los números complejos son un subconjunto de estos nuevos sistemas numéricos, aunque estas generalizaciones tienen la estructura matemática de álgebra sobre un cuerpo, pero en ellos la operación de multiplicación no es conmutativa.

La teoría de conjuntos sugirió muchas y variadas formas de extender los números naturales y los números reales de formas diferentes a como los números complejos extendían al conjunto de los números reales. El intento de capturar la idea de conjunto con un número no finito de elementos llevó a la aritmética de números transfinitos que generalizan a los naturales, pero no a los números enteros. Los números transfinitos fueron introducidos por Georg Cantor hacia 1873.

Los números hiperreales usados en el análisis no estándar generalizan a los reales pero no a los números complejos (aunque admiten una complejificación que generalizaría también a los números complejos). Aunque parece los números hiperreales no proporcionan resultados matemáticos interesantes que vayan más allá de los obtenibles en el análisis real, algunas demostraciones y pruebas matemáticas parecen más simples en el formalismo de los números hiperreales, por lo que no están exentos de importancia práctica.

Una de las formas más frecuentes de representar números por escrito consiste en un «conjunto finito de símbolos» o dígitos que, adecuadamente combinados, permiten formar cifras que funcionan como representaciones de números (cuando una secuencia específica de signos se emplea para representar un número se la llama numeral, aunque una cifra también puede representar simplemente un código identificativo).

Tanto las lenguas naturales como la mayor parte de sistemas de representación de números mediante cifras, usan un inventario finito de unidades para expresar una cantidad mucho mayor de números. Una manera importante de lograr eso es el uso de una base aritmética en esos sistemas un número se expresa en general mediante suma o multiplicación de números. Los sistemas puramente aritméticos recurren a bases donde cada signo recibe una interpretación diferente según su posición. Así en el siguiente numeral arábigo (base 10):

${displaystyle 13568,}$

El <8> por estar en última posición representa unidades, el <6> representa decenas, el <5> centenas, el <3> millares y el <1> decenas de millares. Es decir, ese numeral representara el número:

${displaystyle n_{langle 13568 angle }=1cdot 10^{4}+3cdot 10^{3}+5cdot 10^{2}+6cdot 10^{1}+8cdot 10^{0}=13568}$

Muchas lenguas del mundo usan una base decimal, igual que el sistema arábigo, aunque también es frecuente que las lenguas usen sistemas vigesimales (base 20). De hecho la idea de usar un número finito de dígitos o signos para representar números arbitrariamente grandes funciona para cualquier base b, donde b es un número entero mayor o igual que 2. Los ordenadores frecuentemente usan para sus operaciones la base binaria (b = 2), y para ciertos usos también se emplea la base octal (b = 8 ) o hexadecimal (b = 16). La base coincide con el número de signos primarios, si un sistema posicional tiene b símbolos primarios que designaremos por ${displaystyle {0,1,2dots ,b-1}}$, el numeral:

${displaystyle S_{n}S_{n-1}dots S_{2}S_{1}S_{0}qquad S_{i}in {0,1,2dots ,b-1}}$

Designará al número:

${displaystyle n_{langle S_{n}S_{n-1}dots S_{2}S_{1}S_{0} angle }=S_{n}cdot b^{n}+dots +S_{2}cdot b^{2}+S_{1}cdot b^{1}+S_{0}cdot b^{0}=sum _{k=0}^{n}S_{k}b^{k}}$

Las lenguas naturales usan nombres o numerales para los números frecuentemente basados en el contaje mediante dedos, razón por la cual la mayoría de las lenguas usan sistemas de numeración en base 10 (dedos de las manos) o base 20 (dedos de manos y pies), aunque también existen algunos sistemas exóticos que emplean otras bases.

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