Espacios de Banach

En matemáticas, un espacio de Banach, llamado así en honor del matemático polaco, Stefan Banach, es uno de los objetos de estudio más importantes en análisis funcional. Un espacio de Banach es típicamente un espacio de funciones de dimensión infinita.

Un espacio de Banach es un espacio vectorial normado y completo en la métrica definida por su norma.^[1]​ Esto quiere decir que un espacio de Banach es un espacio vectorial ${displaystyle V}$ sobre el cuerpo de los números reales o el de los complejos con una norma ${displaystyle ||cdot ||}$ tal que toda sucesión de Cauchy (con respecto a la métrica ${displaystyle d(x,y)=||x-y||}$ en ${displaystyle V}$ tiene un límite en ${displaystyle V}$.

De aquí en adelante, ${displaystyle mathbb {K} }$ designará uno de los cuerpos ${displaystyle mathbb {R} }$ o ${displaystyle mathbb {C} }$:

Si ${displaystyle pgeq 1}$ es un número real, podemos considerar el espacio de todas las sucesiones infinitas ${displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},dots )}$ de elementos en ${displaystyle mathbb {K} in {mathbb {R} ,mathbb {C} }}$ tales que la serie infinita ${ extstyle sum _{k=1}^{infty }|x_{k}|^{p}}$ es finita. Entonces se define la ${displaystyle p}$-norma (o norma-${displaystyle p}$) de la sucesión como la raíz ${displaystyle p}$-ésima del valor de la serie. Este espacio, junto a su norma, es un espacio de Banach; se denota por ${displaystyle ell ^{p}}$:

El espacio de Banach ${displaystyle ell ^{infty }}$ consiste en todas las sucesiones acotadas de elementos en ${displaystyle mathbb {K} }$; la norma de una de estas sucesiones se define como el supremo de los valores absolutos de los miembros de la sucesión.

Si ${displaystyle pgeq 1}$ es un número real, podemos considerar a todas las funciones ${displaystyle f:Omega subset mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} }$ tales que | f |^p es Lebesgue-integrable, es decir el conjunto

Se define la norma de ${displaystyle f}$ como la raíz ${displaystyle p}$-ésima de esta integral. Por sí mismo, este espacio no es un espacio de Banach porque existen funciones no nulas cuya norma es cero. Definimos una relación de equivalencia como sigue:

Es decir, ${displaystyle f}$ y ${displaystyle g}$ son equivalentes si y solo si la "semi-norma" de ${displaystyle f-g}$ es cero. El conjunto de las clases de equivalencia obtiene entonces la estructura de espacio de Banach y es denotado por ${displaystyle L^{p}(Omega )}$:

Es crucial usar la integral de Lebesgue en lugar de la integral de Riemann en este caso, porque la integral de Riemann no daría un espacio completo. Estos ejemplos se pueden generalizar: ver espacios L ^p para más detalles.

Un conjunto ${displaystyle S}$ en un espacio de Banach ${displaystyle X}$ se llama bicompacto si de toda sucesión ${displaystyle x_{n}}$ de ${displaystyle S}$, con ${displaystyle nin mathbb {N} }$ se puede obtener un subsucesión, cuyo límite está en ${displaystyle S}$.

Un conjunto ${displaystyle M}$ de un espacio vectorial normado se llama compacto si de toda sucesión ${displaystyle x_{n}}$ de ${displaystyle M}$, con ${displaystyle nin mathbb {N} }$ se puede extraer una subsucesión fundamental.

Un conjunto ${displaystyle H}$ de elementos de un espacio vectorial normado ${displaystyle X}$ se llama localmente compacto si la intersección de ${displaystyle H}$ con cualquiera bola cerrada en ${displaystyle X}$ es compacta.

Un conjunto ${displaystyle H}$ de un espacio de Banach ${displaystyle X}$ se llama débilmemente compacto si de toda sucesión infinita de sus elementos se puede extraer una subsucesión débilmente fundamental.^[2]​

Como se menciona anteriormente, cada espacio de Hilbert es un espacio de Banach porque, por definición, un espacio de Hilbert es completo con respecto a la norma asociada a su producto interno.

No todos los espacios de Banach son espacios de Hilbert. Una condición necesaria y suficiente para que un espacio de Banach sea también un espacio de Hilbert es la identidad del paralelogramo:

para todo ${displaystyle u}$ y ${displaystyle v}$ en nuestro espacio de Banach ${displaystyle V}$, y donde ${displaystyle ||cdot ||}$ es la norma sobre ${displaystyle V}$.

Si la norma de un espacio de Banach satisface esta identidad, entonces el espacio es un espacio de Hilbert, con el producto interno dado por la identidad de polarización. Si ${displaystyle V}$ es un espacio de Banach real entonces la identidad de polarización es

y en el caso que ${displaystyle V}$ sea un espacio de Banach complejo la identidad de polarización está dada por

Para demostrar que la identidad del paralelogramo implica que la forma definida por la identidad de polarización es verdaderamente un producto interno, se verifica algebraicamente que esta forma es aditiva, de donde, se sigue por inducción que la forma es lineal sobre los enteros y racionales. Entonces, como todo real es límite de alguna sucesión de Cauchy de racionales, la completitud de la norma extiende la linealidad sobre toda la recta real. En el caso complejo uno puede probar también que la forma bilineal es lineal sobre i en un argumento, y conjugada lineal en el otro.

Si ${displaystyle V}$ y ${displaystyle W}$ son espacios de Banach sobre el mismo cuerpo ${displaystyle mathbb {K} }$, el conjunto de todas las transformaciones lineales continuas ${displaystyle A:V o W}$ se denota por L${displaystyle L(V,W)}$. Es de notar que en espacios de infinitas dimensiones no todas las funciones lineales son automáticamente continuas. ${displaystyle L(V,W)}$ es un espacio vectorial, y definiendo la norma ||A|| = sup { ||Ax|| : x en V con ||x|| ≤ 1 } se transforma en un espacio de Banach.

El espacio ${displaystyle L(V)=L(V,V)}$ forma un álgebra de Banach unitaria, donde la operación de multiplicación está dada por la composición de funciones lineales.

Si ${displaystyle V}$ es un espacio de Banach y ${displaystyle mathbb {K} }$ es el cuerpo subyacente (el de los números reales, o bien, el de los números complejos), entonces ${displaystyle mathbb {K} }$ es un espacio de Banach (usando el valor absoluto como norma) y podemos definir al espacio dual ${displaystyle V}$ por V = L(V, K). Este es, de nuevo, un espacio de Banach. Se puede usar para definir una nueva topología para ${displaystyle V}$: la topología débil.

Existe una aplicación isométrica lineal natural ${displaystyle F}$ de ${displaystyle V}$ a ${displaystyle V''}$ definido por ${displaystyle F(x)(f)=f(x)}$ para todo ${displaystyle xin V}$ y ${displaystyle f}$ en ${displaystyle V''}$, como consecuencia del teorema de Hahn-Banach, este mapeo es inyectivo; si llegara a ser sobreyectivo, entonces el espacio de Banach ${displaystyle V}$ se dice reflexivo. Los espacios reflexivos tienen muchas propiedades geométricas importantes. Un espacio es reflexivo si y solo si su espacio dual es reflexivo, lo que ocurre si y solo si su bola unitaria es compacta en la topología débil. La existencia de una isometría entre ${displaystyle V}$ y ${displaystyle V''}$ no es suficiente para que ${displaystyle V}$ sea reflexivo; es necesario que tal isometría sea ${displaystyle F}$.

Por ejemplo, l^p es reflexivo para ${displaystyle 1<p<infty }$ pero l¹ y l^∞ no son reflexivos. El dual de l^p es l^q donde ${displaystyle p}$ y ${displaystyle q}$ están relacionados por la fórmula ${displaystyle 1/p+1/q=1}$. Ver espacios L ^p para más detalles. Un espacio de Hilbert es siempre reflexivo.

Dada una aplicación (no necesariamente lineal) ${displaystyle f:V o W}$ entre dos espacios de Banach es posible definir la derivada de esta función generalizando el caso de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$. Intuitivamente, si ${displaystyle x}$ es un elemento de ${displaystyle V}$, la derivada de ${displaystyle f}$ en el punto ${displaystyle x}$ es una forma lineal continua que aproxima ${displaystyle f}$ cerca de ${displaystyle x}$. Formalmente, se dice que ${displaystyle f}$ es diferenciable en ${displaystyle x}$ si existe una forma lineal continua ${displaystyle A:V o W}$ tal que

El límite aquí se toma sobre todas las sucesiones de elementos no nulos de ${displaystyle V}$ que converjan al nulo de ${displaystyle V}$. Si el límite existe, escribimos ${displaystyle Df(x)=A}$ y le llamamos la derivada de ${displaystyle f}$ en ${displaystyle x}$.

Esta noción de derivada es una generalización de la derivada ordinaria de funciones R → R, pues las funciones lineales de ${displaystyle mathbb {R} }$ a ${displaystyle mathbb {R} }$ son las multiplicaciones por números reales.

Si ${displaystyle f}$ es diferenciable en todos los puntos ${displaystyle x}$ de ${displaystyle V}$, entonces ${displaystyle Df:V o L(V,W)}$ es otra función entre espacios de Banach (que no es, en general, lineal), que posiblemente, se puede diferenciar de nuevo, definiendo así derivadas más altas de ${displaystyle f}$. La ${displaystyle n}$-ésima derivada en un punto ${displaystyle x}$ se puede ver como una función multilineal ${displaystyle V^{n} o W}$.

La diferenciación es una operación lineal en el siguiente sentido, si ${displaystyle f}$ y ${displaystyle g}$ son dos funciones ${displaystyle f,g:V o W}$ que son diferenciables en ${displaystyle x}$ y ${displaystyle r,sin mathbb {K} }$ son escalares entonces ${displaystyle rf+sg}$ es diferenciable en ${displaystyle x}$ con ${displaystyle D(rf+sg)(x)=rD(f)(x)+sD(g)(x)}$.

La regla de la cadena es también válida en este contexto, si ${displaystyle f:V o W}$ es diferenciable en ${displaystyle xin V}$ y ${displaystyle g:W o X}$ es diferenciable en ${displaystyle f(x)}$ entonces la función compuesta ${displaystyle gcirc f}$ es diferenciable en ${displaystyle x}$ y la derivada es la composición de las derivadas:

Muchos espacios importantes en análisis funcional, por ejemplo el espacio de todas las funciones infinitamente diferenciables de ${displaystyle mathbb {R} }$ en ${displaystyle mathbb {R} }$ o el espacio de todas las distribuciones sobre ${displaystyle mathbb {R} }$ son espacios vectoriales completos, pero no normados, no siendo espacios de Banach entonces. En los espacios de Fréchet aún se tiene una métrica completa, mientras que los espacios LF son espacios vectoriales uniformes que surgen como límites de espacios de Fréchet.

Análisis funcional de Kolmogorov.

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