Pi (número)
π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Cabe destacar que el cociente entre la longitud de cualquier circunferencia y la de su diámetro no es constante en geometrías no euclidianas.
La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego περιφέρεια «periferia» y περίμετρον «perímetro» de un círculo, notación que fue utilizada primero por William Oughtred (1574-1660) y cuyo uso fue propuesto por el matemático galés William Jones (1675-1749); aunque fue el matemático Leonhard Euler, con su obra Introducción al cálculo infinitesimal, de 1748, quien la popularizó. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (que no se debe confundir con el número de Arquímedes). Jones plantea el nombre y símbolo de este número en 1706 y Euler empieza a difundirlo en 1736.
Arquímedes lo calculó con la aproximación de , tal como consignó en su obra Medición del círculo, ciertamente con otra notación.
La búsqueda del mayor número de decimales del número ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones históricas de son las siguientes.
Hacia el 1900-1600 a. C., algunos matemáticos mesopotámicos empleaban, en el cálculo de segmentos, valores de igual a 3, alcanzando en algunos casos valores más aproximados, como el de:
El valor aproximado de en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro Rhind, donde se emplea un valor aproximado de afirmando que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9; es decir, igual a 8/9 del diámetro. En notación moderna:
Entre los ocho documentos matemáticos hallados de la antigua cultura egipcia, en dos se habla de círculos. Uno es el papiro Rhind y el otro es el papiro de Moscú. Solo en el primero se habla del valor aproximado del número . El investigador Otto Neugebauer, en un anexo de su libro The Exact Sciences in Antiquity, describe un método inspirado en los problemas del papiro de Ahmes para averiguar el valor de π, mediante la aproximación del área de un cuadrado de lado 8, a la de un círculo de diámetro 9.
Una de las referencias indirectas más antiguas del valor aproximado de π se puede encontrar en un versículo de la Biblia:
Una cita similar se puede encontrar en el Segundo libro de las crónicas. En él aparece en una lista de requerimientos para la construcción del Gran Templo de Salomón, construido sobre el 950 a. C.:
Ambas citas dan 3 como valor de π, lo que supone una notable pérdida de precisión respecto de las anteriores estimaciones egipcia y mesopotámica. Al respecto, apologéticos cristianos señalan que la falta de precisión se pueda atribuir al redondeo de las dimensiones relatadas por el texto.
El matemático griego Arquímedes (siglo III a. C.) fue capaz de determinar el valor de π entre el intervalo comprendido por 3 10/71, como valor mínimo, y 3 1/7, como valor máximo. Con esta aproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error que oscila entre 0.024 % y 0.040 % sobre el valor real. El método usado por Arquímedes era muy simple y consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados.
Alrededor del año 20 d. C., el arquitecto e ingeniero romano Vitruvio calcula π como el valor fraccionario 25/8 midiendo la distancia recorrida en una revolución por una rueda de diámetro conocido.
En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor fraccionario por aproximaciones:
El número π es un coeficiente que multiplicado por el diámetro nos indica la longitud de la circunferencia. Es decir, tres veces el diámetro se acerca a la longitud de la circunferencia, pero se queda corto. En realidad hay que multiplicar el diámetro por 3.14159… Lo estamos expresando como tres unidades y un cociente propio del sistema decimal.
Sistema decimal:
Explicación de su obtención:
PASO 1.
PASO 2.
Tenemos que tener en cuentas las llevadas.
El cálculo de pi fue una atracción para los matemáticos expertos de todas las culturas. Hacia 120, el astrónomo chino Zhang Heng (78-139) fue uno de los primeros en usar la aproximación √10, que dedujo de la razón entre el volumen de un cubo y la respectiva esfera inscrita. Un siglo después, el astrónomo Wang Fang lo estimó en 142/45 (3.155555), aunque se desconoce el método empleado. Pocos años después, hacia 263, el matemático Liu Hui fue el primero en sugerir que 3.14 era una buena aproximación, usando un polígono de 96 o 192 lados. Posteriormente estimó π como 3.14159 empleando un polígono de 3072 lados.
A finales del siglo V, el matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi calculó el valor de en 3.1415926, al que llamó «valor por defecto», y 3.1415927, «valor por exceso», y dio dos aproximaciones racionales de , 22/7 y 355/113, muy conocidas ambas, siendo la última aproximación tan buena y precisa que no fue igualada hasta más de nueve siglos después, en el siglo XV.
Usando un polígono regular inscrito de 384 lados, a finales del siglo V el matemático indio Aryabhata estimó el valor en 3.1416. A mediados del siglo VII, estimando incorrecta la aproximación de Aryabhata, Brahmagupta calcula como √10, cálculo mucho menos preciso que el de su predecesor. Hacia 1400 Madhava obtiene una aproximación exacta hasta 11 dígitos (3.14159265359), siendo el primero en emplear series para realizar la estimación.
En el siglo IX Al-Jwarizmi, en su Álgebra (Hisab al yabr ua al muqabala), hace notar que el hombre práctico usa 22/7 como valor de , el geómetra usa 3, y el astrónomo 3.1416. En el siglo XV, el matemático persa Ghiyath al-Kashi fue capaz de calcular el valor aproximado de con nueve dígitos, empleando una base numérica sexagesimal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitos decimales: 2 = 6.2831853071795865_
A partir del siglo XII, con el uso de cifras arábigas en los cálculos, se facilitó mucho la posibilidad de obtener mejores cálculos para π. El matemático Fibonacci (1170-1250), en su Practica Geometriae, amplifica el método de Arquímedes, proporcionando un intervalo más estrecho. Algunos matemáticos del siglo XVII, como Viète, usaron polígonos de hasta 393 216 lados para aproximarse con buena precisión a 3.141592653. En 1593 el flamenco Adriaan van Roomen (Adrianus Romanus) obtiene una precisión de 16 dígitos decimales usando el método de Arquímedes.
En 1610 el matemático Ludolph van Ceulen calculó los 35 primeros decimales de π. Se dice que estaba tan orgulloso de esta hazaña que lo mandó grabar en su lápida. Los libros de matemática alemanes durante muchos años denominaron a π como número ludolfiano. En 1665 Isaac Newton desarrolla la serie
Con obtuvo una serie para:
El matemático inglés John Wallis desarrolló en 1655 la conocida serie Producto de Wallis:
En 1699, a sugerencia de Edmond Halley, el matemático inglés Abraham Sharp (1651-1742) calculó pi con una precisión de 71 dígitos decimales usando la serie de Gregory:
Con se obtiene una serie para:
Para alcanzar la precisión obtenida, debió usar alrededor de trescientos términos en la serie. En 1720 el francés Thomas de Lagny utilizó el mismo método para obtener una aproximación de 127 dígitos (solo los primeros 112 eran correctos).
Leibniz calculó de una forma más complicada en 1682 la siguiente serie matemática que lleva su nombre:
El inglés William Oughtred fue el primero que empleó la letra griega π como símbolo del cociente entre las longitudes de una circunferencia y su diámetro. Fue en el año 1706 cuando el galés William Jones afirmó: «3.14159 andc. = π» y propuso usar siempre el símbolo π, y fue Leonhard Euler el que al adoptarlo en 1737 lo convirtió en la notación habitual que se usa hasta nuestros días.
El matemático japonés Takebe empezó a calcular el número π en el año 1722, con el mismo método expuesto por Arquímedes, y fue ampliando el número de lados para polígonos circunscritos e inscritos hasta llegar a 1024 lados. Este ingente trabajo consiguió que se determinara π con 41 decimales.
En 1789 el matemático de origen esloveno Jurij Vega, mediante la fórmula de John Machin, descubierta en 1706, fue el primero en averiguar los primeros 140 decimales de π, de los cuales 126 eran correctos; este récord se mantuvo durante 52 años, hasta que en 1841 William Rutherford calculó 208 decimales, de los cuales 152 eran correctos.
El matemático aficionado de origen inglés William Shanks trabajó, durante 20 años, en hallar los dígitos decimales de π, habiendo obtenido 707 decimales en 1873. En el año 1944, D. F. Ferguson encontró un error en el quingentésimo vigésimo octavo dígito decimal (528º) de la serie de Shanks, a partir del cual todos los dígitos subsiguientes eran erróneos. En 1948, Ferguson recalculó π con 808 decimales con la ayuda de una calculadora electrónica.
Algunas aproximaciones históricas de valores de π, anteriores a la época computacional, se muestran en la siguiente tabla:
(en partes por millón)
empleó 211875/67441 ~ 3.14163
13.45 ppm
Desde el diseño de la primera computadora se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π con la mayor cantidad de cifras posible. De esta forma, en 1949 un ENIAC fue capaz de romper el récord, obteniendo 2037 cifras decimales en 70 horas. Poco a poco fueron surgiendo ordenadores que batían récords y, de esta forma, pocos años después (1954) un NORAC llegó a 3092 cifras. Durante casi toda la década de los años 1960 los IBM fueron batiendo récords, hasta que un IBM 7030 pudo llegar en 1966 a 250 000 cifras decimales (en 8 h y 23 min). Durante esta época se probaban las nuevas computadoras con algoritmos para la generación de series de números procedentes de .
En la década de 2000, los ordenadores son capaces de obtener números que poseen una inmensa cantidad de decimales. En 2009 se hallaron más de dos billones y medio de decimales de pi mediante el uso de una supercomputadora T2K Tsukuba System, compuesta por 640 computadoras de alto rendimiento, que juntas consiguen velocidades de procesamiento de 95 teraflops. Lo obtuvieron en 73 horas y 36 minutos.
En la época computacional del cálculo de π las cifras se han disparado, no solo debido a la potencia de cálculo que estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina cuando su marca aparece en la lista de los récords, y por la capacidad de hacer uso de computación avanzada para encadenar millones de máquinas si se desea y así aumentar la potencia de cálculo, que en los anteriores casos solo deviene de una sola máquina, siendo el último ejemplo el uso de una combinación entre potencia de procesamiento y el uso de programas de cálculo y/o entrelazamiento de máquinas asistido.
Euclides fue el primero en demostrar que la relación entre una circunferencia y su diámetro es una cantidad constante. No obstante, existen diversas definiciones del número , pero las más común es:
Además es:
También es posible definir analíticamente ; dos definiciones son posibles:
Se trata de un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767). También es un número trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. En el siglo XIX el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró este hecho, cerrando con ello definitivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema de la cuadratura del círculo indicando que no tiene solución.
También se sabe que π tampoco es un número de Liouville (Mahler, 1953), es decir, no solo es trascendental sino que no puede ser aproximado por una secuencia de racionales «rápidamente convergente» (Stoneham 1970[cita requerida]).
A pesar de tratarse de un número irracional continúa siendo averiguada la máxima cantidad posible de decimales. Los cincuenta primeros son:
Para ver secuencias mayores de este número consúltese las referencias (5·1012 decimales), así como Las primeras diez mil cifras decimales A00796 y OEIS.
En ciencia e ingeniería, esta constante puede emplearse, la mayoría de las veces, con una precisión de solo una docena de decimales. Con cuarenta decimales se podría describir con precisión la curvatura de la Vía Láctea con un error más pequeño que el tamaño de un protón.
Áreas de secciones cónicas:
Áreas de cuerpos de revolución:
Volúmenes de cuerpos de revolución:
Ecuaciones expresadas en radianes:
Donde B(2k) es el 2k-ésimo número de Bernoulli.
Utilizando el inverso del producto de Euler para la función zeta de Riemann y para el valor del argumento igual a 2 se obtiene:
donde pn es el n-ésimo número primo. Euler fue el primero en hallar este valor de la función zeta (empleando la expresión de sumatoria) y resolviendo así el famoso Problema de Basilea.
Una forma exacta de poder calcular π en términos de tangentes inversas de fracciones unitarias es la fórmula de Machin, descubierta en 1706:
Muchos matemáticos emplearon esta fórmula para averiguar dígitos por encima de la centena (por ejemplo, el ya citado Shanks, que con esta fórmula calculó 707 posiciones decimales de π).
Los primeros millones de dígitos de π y 1/π se pueden consultar en Proyecto Gutenberg (véase enlaces externos). Uno de los récords más recientes fue alcanzado en diciembre de 2002 por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio, fijando el número pi con 1 241 100 000 000 dígitos; se necesitaron unas 602 horas con un superordenador de 64 nodos Hitachi SR8000 con una memoria de un terabyte capaz de llevar a cabo dos billones de operaciones por segundo, más de seis veces el récord previo (206 mil millones de dígitos). Para ello se emplearon las siguientes fórmulas modificadas de Machin:
Estas aproximaciones proporcionaron una cantidad tan ingente de dígitos que puede decirse que ya no es útil sino para comprobar el funcionamiento de los superordenadores. La limitación no está en la computación sino en la memoria necesaria para almacenar una cadena con una cantidad tan grande de números.
Es posible obtener una aproximación al valor de π de forma geométrica. De hecho, ya los griegos intentaron obtener sin éxito una solución exacta al problema del valor de π mediante el empleo de regla y compás. El problema griego conocido como cuadratura del círculo o, lo que es lo mismo, obtener un cuadrado de área igual al área de un círculo cualquiera, lleva implícito el cálculo del valor exacto de π.
Una vez demostrado que era imposible la obtención de π mediante el uso de regla y compás, se desarrollaron varios métodos aproximados. Dos de las soluciones aproximadas más elegantes son las debidas a Kochanski (usando regla y compás) y la de Mascheroni (empleando únicamente un compás).
Se dibuja una circunferencia de radio R. Se inscribe el triángulo equilátero OEG. Se traza una recta paralela al segmento EG que pase por A, prolongándola hasta que corte al segmento OE, obteniendo D. Desde el punto D y sobre ese segmento se transporta 3 veces el radio de la circunferencia y se obtiene el punto C. El segmento BC es aproximadamente la mitad de la longitud de la circunferencia.
Sustituyendo en la primera fórmula:
Método desarrollado por Lorenzo Mascheroni: se dibuja una circunferencia de radio R y se inscribe un hexágono regular. El punto D es la intersección de dos arcos de circunferencia: BD con centro en A', y CD con centro en A. Obtenemos el punto E como intersección del arco DE, con centro en B, y la circunferencia. El segmento AE es un cuarto de la longitud de la circunferencia, aproximadamente.
Por el teorema de Ptolomeo, en el cuadrilátero ABEB'
π es ubicuo en matemática; aparece incluso en lugares que carecen de una conexión directa con los círculos de la geometría euclídea.
Para cualquier círculo de radio r y diámetro d = 2r, la longitud de la circunferencia es πd y el área del círculo es πr2. Además, π aparece en fórmulas para áreas y volúmenes de muchas otras figuras geométricas relacionadas con la circunferencia, como elipses, esferas, conos, y toroides. π aparece en integrales definidas que describen la circunferencia, área o volumen de figuras generadas por circunferencias y círculos. En el caso básico, la mitad del área de un círculo unitario es:
y la mitad de la longitud de la circunferencia unitaria es:
Se puede integrar formas más complejas como sólidos de revolución.
De la definición de las funciones trigonométricas desde el círculo unitario se llega a que el seno y el coseno tienen período 2π. Lo que significa, para todo x y enteros n, sin(x) = sin(x + 2πn) y cos(x) = cos(x + 2πn). Porque sin(0) = 0, sin(2πn) = 0 para todos los enteros n. Además, el ángulo 180° es igual a π radianes. En otras palabras 1° = (π/180) radianes.
En la matemática moderna, π es a menudo definido usando funciones trigonométricas, por ejemplo como el menor entero positivo x para el cual sinx = 0, para evitar dependencias innecesarias de las sutilezas de la geometría euclidiana y la integración. Equivalentemente, π puede ser definido usando funciones trigonométricas inversas, por ejemplo como π = 2 arccos(0) o π = 4 arctan(1). Expandir funciones trigonométricas inversas como series de potencias es la manera más fácil de obtener series infinitas para π.
La frecuente aparición de π en análisis complejo puede estar relacionada con el comportamiento de la función exponencial de una variable compleja, descrito por la fórmula de Euler
donde i es la unidad imaginaria que satisface la ecuación y e ≈ 2.71828 es el número de Euler. Esta fórmula implica que las potencias imaginarias de e describen rotaciones un círculo unitario en el plano complejo; estas rotaciones tienen un período de 360º = 2π. En particular, la rotación de 180º φ = π resulta en la notable identidad de Euler
Hay n diferentes raíces n-ésimas de la unidad
Una consecuencia es que el resultado de la división entre la función gamma de un semientero (la mitad de un número impar) y √π es un número racional.
Aunque no es una constante física, π aparece rutinariamente en ecuaciones que describen los principios fundamentales del Universo, no necesariamente relacionada con las características geométricas del círculo, sino usada, por ejemplo, para describir fenómenos periódicos como ondas y ciclos. Debido en gran parte a su relación con la naturaleza del círculo y, correspondientemente, con el sistema de coordenadas esféricas (sistema usado ampliamente en física por sus propiedades de simetría radial). Usando unidades como las unidades de Planck se puede eliminar a veces a π de las fórmulas.
El uso de pi en esta relación fundamental de la mecánica cuántica, tiene relación con la periodicidad de la función de onda, describiendo un valor mínimo en el cual se puede correctamente localizar una función de onda simultáneamente en espacio de coordenadas () y en espacio de frecuencias (), interconectadas por la transformada de Fourier. La frecuencia tiene relación directa con el momento de la función de onda. Por ejemplo: para el fotón , donde y es su frecuencia).
En probabilidad y estadística, hay muchas distribuciones cuyas fórmulas contienen a π, incluyendo:
Nótese que para todas las funciones de densidad de probabilidad se cumple que, entonces las fórmulas anteriores pueden usarse para producir otras fórmulas integrales para π.
El problema de la aguja de Buffon es llamado en ocasiones como una aproximación empírica de π. Se trata de lanzar una aguja de longitud l repetidamente sobre una superficie en la que se han trazado rectas paralelas distanciadas entre sí, en t unidades, de manera uniforme (con t > l de forma que la aguja no pueda tocar dos rectas). Si la aguja se lanza n veces y x de esas cae cruzando una línea, entonces se puede aproximar π usando el Método de Montecarlo, lanzándola gran cantidad de veces:
Aunque este resultado es matemáticamente impecable, no puede usarse más que para determinar unos cuantos dígitos de π experimentalmente. Para conseguirse solo tres dígitos correctos (incluyendo el «3» inicial) requiere de millones de lanzamientos, y el número de lanzamientos crece exponencialmente con el número de dígitos deseados. Además, cualquier error en la medida de las longitudes l y t se transfiere directamente como un error en la aproximación de π. Por ejemplo, una diferencia de un simple átomo en una aguja de 10 centímetros podría acarrear errores en el noveno dígito del resultado. En la práctica, incertidumbres en la determinación de si la aguja en realidad cruza una línea que parece estar solo tocándola lleva el límite de precisión alcanzable a mucho menos de 9 dígitos.
Es muy frecuente emplear poemas como regla mnemotécnica para poder recordar las primeras cifras del número pi.
«¿Qué? ¿Y cómo π reúne infinidad de cifras? ¡Tiene que haber períodos repetidos! Tampoco comprendo que de una cantidad poco sabida se afirme algo así, tan atrevido!» Nótese que para el segundo 1 (3.14159…) se utiliza la letra griega π.
«Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, que serie preciosa valorando, enunció magistral. Por su ley singular, bien medido el grande orbe por fin reducido fue al sistema ordinario usual.» (del autor Rafael Nieto París) Aquí también se utiliza la letra griega π para el primer 1.
«How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!»
Existen cuentos amplios que son capaces de hacer memorizar una gran cantidad de dígitos, tal es el titulado «Cadaeic Cadenza», escrito en 1996 por el matemático Michael Keith y que ofrece la posibilidad de memorizar los primeros 3834 dígitos. De esta forma, tomando «A» como 1, «B» como 2, «C» como 3, etc., el nombre de la historia saca los dígitos de π, como «Cadaeic» es la primera palabra de 7 dígitos de π:
Es de resaltar que en cada idioma existen diferentes reglas mnemotécnicas (se aconseja visitar cada Wikipedia para descubrir el arte empleado en cada idioma).
Según determinadas coincidencias numéricas, los Días de Aproximación a Pi son: